미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \tan (x)}{x}$

단계 1

삼각함수 항등식 적용하기

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단계 1.1

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{x}$

단계 1.2

$\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{x}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}$

단계 2

$x$ 가 $0$ 에 한없이 가까워질 때 $\frac{\sin (x)}{x}$ 의 극한값은 $1$ 입니다.

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단계 2.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 2.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 2.1.2.1

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.3

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 2.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 2.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 2.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}$

단계 2.4

극한값을 계산합니다.

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단계 2.4.1

$\cos (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to 0} \cos (x)$

단계 2.4.2

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

단계 2.5

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\cos (0)$

단계 2.6

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$1$