미적분 예제

$y = x$ , $y = 2 \sqrt{x}$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$x = 2 \sqrt{x}$

단계 1.2

$x = 2 \sqrt{x}$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

근호가 방정식의 우변에 있으므로 양변의 위치를 바꿔 방정식의 좌변에 오도록 합니다.

$2 \sqrt{x} = x$

단계 1.2.2

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = x^{2}$

단계 1.2.3

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

단계 1.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.1

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

단계 1.2.3.2.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

단계 1.2.3.2.1.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

단계 1.2.3.2.1.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

단계 1.2.3.2.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$4 x^{1} = x^{2}$

단계 1.2.3.2.1.4

간단히 합니다.

$4 x = x^{2}$

단계 1.2.4

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

방정식의 양변에서 $x^{2}$ 를 뺍니다.

$4 x - x^{2} = 0$

단계 1.2.4.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$4 u - u^{2} = 0$

단계 1.2.4.2.2

$4 u - u^{2}$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.2.1

$4 u$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$u \cdot 4 - u^{2} = 0$

단계 1.2.4.2.2.2

$- u^{2}$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$u \cdot 4 + u (- u) = 0$

단계 1.2.4.2.2.3

$u \cdot 4 + u (- u)$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$u (4 - u) = 0$

단계 1.2.4.2.3

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$x (4 - x) = 0$

단계 1.2.4.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$4 - x = 0 + y = 2 \sqrt{x}$

단계 1.2.4.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 1.2.4.5

$4 - x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.5.1

$4 - x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$4 - x = 0$

단계 1.2.4.5.2

$4 - x = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.5.2.1

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$- x = - 4$

단계 1.2.4.5.2.2

$- x = - 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.5.2.2.1

$- x = - 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

단계 1.2.4.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.5.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

단계 1.2.4.5.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 4}{- 1}$

단계 1.2.4.5.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.5.2.2.3.1

$- 4$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 4$

단계 1.2.4.6

$x (4 - x) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 4$

단계 1.3

$x = 0$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$y = 2 \sqrt{0}$

단계 1.3.2

$2 \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 2 \sqrt{0}$

단계 1.3.2.2

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = 2 \sqrt{0^{2}}$

단계 1.3.2.3

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = 2 \cdot 0$

단계 1.3.2.4

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = 0$

단계 1.4

$x = 4$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x$ 에 $4$ 를 대입합니다.

$y = 2 \sqrt{4}$

단계 1.4.2

$2 \sqrt{4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 2 \sqrt{4}$

단계 1.4.2.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = 2 \sqrt{2^{2}}$

단계 1.4.2.3

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = 2 \cdot 2$

단계 1.4.2.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = 4$

단계 1.5

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(0, 0)$

$(4, 4)$

$(0, 0)$

$(4, 4)$

단계 2

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{0}^{4} 2 \sqrt{x} d x - \int_{0}^{4} x d x$

단계 3

$0$ 과(와) $4$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{0}^{4} 2 \sqrt{x} - (x) d x$

단계 3.2

$- 1$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{4} 2 \sqrt{x} - x d x$

단계 3.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{4} 2 \sqrt{x} d x + \int_{0}^{4} - x d x$

단계 3.4

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int_{0}^{4} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{4} - x d x$

단계 3.5

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$2 \int_{0}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{4} - x d x$

단계 3.6

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x d x$

단계 3.7

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x d x$

단계 3.8

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} x d x$

단계 3.9

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4})$

단계 3.10

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

단계 3.10.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.1

$4$ , $0$ 일 때, $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 값을 계산합니다.

$2 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

단계 3.10.2.2

$4$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$2 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.3.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.4

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$2 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.5

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.6

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.7

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.8

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.3.8.1

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.8.2

수식을 다시 씁니다.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.9

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.10

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.11

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.3.11.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.11.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.3.11.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.11.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.11.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 (\frac{16}{3} - 0) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.12

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{16}{3} + 0) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.13

$\frac{16}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 (\frac{16}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.14

$2$ 와 $\frac{16}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 16}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.15

$2$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$\frac{32}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.16

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{32}{3} - (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.17

$16$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.3.17.1

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{32}{3} - (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.17.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.3.17.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{32}{3} - (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.17.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{32}{3} - (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.17.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{32}{3} - (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.17.2.4

$8$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{0^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.18

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{0}{2})$

단계 3.10.2.3.19

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.3.19.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{2 (0)}{2})$

단계 3.10.2.3.19.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.3.19.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

단계 3.10.2.3.19.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

단계 3.10.2.3.19.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{0}{1})$

단계 3.10.2.3.19.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{32}{3} - (8 - 0)$

단계 3.10.2.3.20

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{32}{3} - (8 + 0)$

단계 3.10.2.3.21

$8$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{32}{3} - 1 \cdot 8$

단계 3.10.2.3.22

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{32}{3} - 8$

단계 3.10.2.3.23

공통 분모를 가지는 분수로 $- 8$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{32}{3} - 8 \cdot \frac{3}{3}$

단계 3.10.2.3.24

$- 8$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{32}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3}$

단계 3.10.2.3.25

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{32 - 8 \cdot 3}{3}$

단계 3.10.2.3.26

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.3.26.1

$- 8$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{32 - 24}{3}$

단계 3.10.2.3.26.2

$32$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$\frac{8}{3}$

단계 4