미적분 예제

$x = - 1$ , $x = 2$ , $y = 3 e^{3 x}$ , $y = 2 e^{3 x} + 1$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$3 e^{3 x} = 2 e^{3 x} + 1$

단계 1.2

$3 e^{3 x} = 2 e^{3 x} + 1$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

방정식의 양변에서 $2 e^{3 x}$ 를 뺍니다.

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} = 1$

단계 1.2.1.2

$3 e^{3 x}$ 에서 $2 e^{3 x}$ 을 뺍니다.

$e^{3 x} = 1$

단계 1.2.2

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{3 x}) = \ln (1)$

단계 1.2.3

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$3 x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{3 x})$ 을 전개합니다.

$3 x \ln (e) = \ln (1)$

단계 1.2.3.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$3 x \cdot 1 = \ln (1)$

단계 1.2.3.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 x = \ln (1)$

단계 1.2.4

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$3 x = 0$

단계 1.2.5

$3 x = 0$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$3 x = 0$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

단계 1.2.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

단계 1.2.5.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{3}$

단계 1.2.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.3.1

$0$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 1.3

$x = 0$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$y = 2 e^{3 (0)} + 1$

단계 1.3.2

$2 e^{3 (0)} + 1$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1.1

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = 2 e^{0} + 1$

단계 1.3.2.1.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$y = 2 \cdot 1 + 1$

단계 1.3.2.1.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = 2 + 1$

단계 1.3.2.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = 3$

단계 1.4

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(0, 3)$

단계 2

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 d x - \int_{- 1}^{0} 3 e^{3 x} d x$

단계 3

$- 1$ 과(와) $0$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 - (3 e^{3 x}) d x$

단계 3.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 - 3 e^{3 x} d x$

단계 3.3

$2 e^{3 x}$ 에서 $3 e^{3 x}$ 을 뺍니다.

$\int_{- 1}^{0} 1 - e^{3 x} d x$

단계 3.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 1}^{0} d x + \int_{- 1}^{0} - e^{3 x} d x$

단계 3.5

상수 규칙을 적용합니다.

$x]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - e^{3 x} d x$

단계 3.6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} e^{3 x} d x$

단계 3.7

먼저 $u = 3 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

$u = 3 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.1

$3 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

단계 3.7.1.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 3.7.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 3.7.2

$u = 3 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 3 \cdot - 1$

단계 3.7.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = - 3$

단계 3.7.4

$u = 3 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 3 \cdot 0$

단계 3.7.5

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 0$

단계 3.7.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 0$

단계 3.7.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 3}^{0} e^{u} \frac{1}{3} d u$

단계 3.8

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 3}^{0} \frac{e^{u}}{3} d u$

단계 3.9

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x]_{- 1}^{0} - (\frac{1}{3} \int_{- 3}^{0} e^{u} d u)$

단계 3.10

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$x]_{- 1}^{0} - \frac{1}{3} e^{u}]_{- 3}^{0}$

단계 3.11

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.1

$0$ , $- 1$ 일 때, $x$ 값을 계산합니다.

$(0) + 1 - \frac{1}{3} e^{u}]_{- 3}^{0}$

단계 3.11.2

$0$ , $- 3$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$(0) + 1 - \frac{1}{3} ((e^{0}) - e^{- 3})$

단계 3.11.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.3.1

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1 - \frac{1}{3} ((e^{0}) - e^{- 3})$

단계 3.11.3.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$1 - \frac{1}{3} (1 - e^{- 3})$

단계 3.12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.1.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$1 - \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{e^{3}})$

단계 3.12.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$1 - \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$

단계 3.12.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$

단계 3.12.1.4

$- \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.1.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 - \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{e^{3}}$

단계 3.12.1.4.2

$\frac{1}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{e^{3}}$

단계 3.12.1.4.3

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{e^{3}}$ 을 곱합니다.

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

단계 3.12.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

단계 3.12.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3 - 1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

단계 3.12.4

$3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

단계 4

$A r e a = \int_{0}^{2} 3 e^{3 x} d x - \int_{0}^{2} 2 e^{3 x} + 1 d x$

단계 5

$0$ 과(와) $2$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{0}^{2} 3 e^{3 x} - (2 e^{3 x} + 1) d x$

단계 5.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 e^{3 x} - (2 e^{3 x}) - 1 \cdot 1$

단계 5.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1 \cdot 1$

단계 5.2.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1$

$\int_{0}^{2} 3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1 d x$

단계 5.3

$3 e^{3 x}$ 에서 $2 e^{3 x}$ 을 뺍니다.

$\int_{0}^{2} e^{3 x} - 1 d x$

단계 5.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{2} e^{3 x} d x + \int_{0}^{2} - 1 d x$

단계 5.5

먼저 $u = 3 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$u = 3 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1.1

$3 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

단계 5.5.1.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 5.5.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 5.5.2

$u = 3 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

단계 5.5.3

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 5.5.4

$u = 3 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 3 \cdot 2$

단계 5.5.5

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 6$

단계 5.5.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 6$

단계 5.5.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{6} e^{u} \frac{1}{3} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

단계 5.6

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{6} \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

단계 5.7

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

단계 5.8

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6} + \int_{0}^{2} - 1 d x$

단계 5.9

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6} + - x]_{0}^{2}$

단계 5.10

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.1

$6$ , $0$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0}) + - x]_{0}^{2}$

단계 5.10.2

$2$ , $0$ 일 때, $- x$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

단계 5.10.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.3.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1 \cdot 1) + (- 1 \cdot 2) + 0$

단계 5.10.3.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) + (- 1 \cdot 2) + 0$

단계 5.10.3.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) - 2 + 0$

단계 5.10.3.4

$- 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) - 2$

단계 5.11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.11.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.11.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} e^{6} + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2$

단계 5.11.1.2

$\frac{1}{3}$ 와 $e^{6}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2$

단계 5.11.1.3

$\frac{1}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1}{3} - 2$

단계 5.11.1.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} - 2$

단계 5.11.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 2$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}$

단계 5.11.3

$- 2$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

단계 5.11.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1 - 2 \cdot 3}{3}$

단계 5.11.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.11.5.1

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1 - 6}{3}$

단계 5.11.5.2

$- 1$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 7}{3}$

단계 5.11.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{7}{3}$

단계 6

$\frac{2}{3} + \frac{1}{3 e^{3}} + \frac{e^{6}}{3} - \frac{7}{3}$ 영역을 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 + e^{6} - 7}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

단계 6.2

$2$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$\frac{e^{6} - 5}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

단계 6.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{e^{6} - 5}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{6} - 5}{3} \cdot \frac{e^{3}}{e^{3}} + \frac{1}{3 e^{3}}$

단계 6.4

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$\frac{e^{6} - 5}{3}$ 에 $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(e^{6} - 5) e^{3}}{3 e^{3}} + \frac{1}{3 e^{3}}$

단계 6.4.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(e^{6} - 5) e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

단계 6.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{6} e^{3} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

단계 6.5.2

지수를 더하여 $e^{6}$ 에 $e^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{e^{6 + 3} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

단계 6.5.2.2

$6$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{e^{9} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

단계 7