미적분 예제

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

단계 1

$\frac{1}{3}$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 의 미분은 $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [{(2 t + 1)}^{\frac{3}{2}}]$ 입니다.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [{(2 t + 1)}^{\frac{3}{2}}]$

단계 2

$f (t) = t^{\frac{3}{2}}$ , $g (t) = 2 t + 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 t + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

단계 2.2

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $2 t + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

단계 6.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

단계 7

$\frac{3}{2}$ 와 ${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} (\frac{3 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

단계 8

$\frac{3 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} \frac{d}{d t} [2 t + 1]$

단계 9

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{3 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{6} \frac{d}{d t} [2 t + 1]$

단계 10

$3 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 ({(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}})}{6} \frac{d}{d t} [2 t + 1]$

단계 11

공약수로 약분합니다.

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단계 11.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d t} [2 t + 1]$

단계 11.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d t} [2 t + 1]$

단계 11.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [2 t + 1]$

단계 12

합의 법칙에 의해 $2 t + 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1])$

단계 13

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])$

단계 14

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1])$

단계 15

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 + \frac{d}{d t} [1])$

단계 16

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 + 0)$

단계 17

항을 간단히 합니다.

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단계 17.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 2$

단계 17.2

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

단계 17.3

${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 17.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 17.5

${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$