미적분 예제

$\frac{5 - \sec (x)}{\tan (x)}$

단계 1

$f (x) = 5 - \sec (x)$ , $g (x) = \tan (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\tan (x) \frac{d}{d x} [5 - \sec (x)] - (5 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $5 - \sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{\tan (x) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]) - (5 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

단계 2.2

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$\frac{\tan (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]) - (5 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ 에 더합니다.

$\frac{\tan (x) \frac{d}{d x} [- \sec (x)] - (5 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

단계 2.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \sec (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ 입니다.

$\frac{\tan (x) (- \frac{d}{d x} [\sec (x)]) - (5 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

단계 3

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$\frac{\tan (x) (- (\sec (x) \tan (x))) - (5 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

단계 4

$\tan (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan (x)) - (5 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

단계 5

$\tan (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) - (5 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

단계 6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- \sec (x) {\tan (x)}^{1 + 1} - (5 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

단계 7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - (5 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

단계 8

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - (5 - \sec (x)) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) + (- 1 \cdot 5 - - \sec (x)) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

단계 9.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 1 \cdot 5 \sec^{2} (x) - - \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

단계 9.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 9.3.1.1

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 \sec^{2} (x) - - \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

단계 9.3.1.2

지수를 더하여 $\sec (x)$ 에 $\sec^{2} (x)$ 을 곱합니다.

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단계 9.3.1.2.1

$\sec^{2} (x)$ 를 옮깁니다.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 \sec^{2} (x) - - (\sec^{2} (x) \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

단계 9.3.1.2.2

$\sec^{2} (x)$ 에 $\sec (x)$ 을 곱합니다.

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단계 9.3.1.2.2.1

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 \sec^{2} (x) - - (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x))}{\tan^{2} (x)}$

단계 9.3.1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 \sec^{2} (x) - - {\sec (x)}^{2 + 1}}{\tan^{2} (x)}$

단계 9.3.1.2.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 \sec^{2} (x) - - \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

단계 9.3.1.3

$- - \sec^{3} (x)$ 을 곱합니다.

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단계 9.3.1.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 \sec^{2} (x) + 1 \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

단계 9.3.1.3.2

$\sec^{3} (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

단계 9.3.2

$- \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 9.3.2.1

$- \sec (x) \tan^{2} (x)$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) - 5 \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

단계 9.3.2.2

$- 5 \sec^{2} (x)$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- 5 \sec (x)) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

단계 9.3.2.3

$\sec^{3} (x)$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- 5 \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

단계 9.3.2.4

$\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- 5 \sec (x))$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) - 5 \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

단계 9.3.2.5

$\sec (x) (- \tan^{2} (x) - 5 \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) - 5 \sec (x) + \sec^{2} (x))}{\tan^{2} (x)}$

단계 9.3.3

$\sec^{2} (x)$ 를 옮깁니다.

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x) - 5 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

단계 9.3.4

$- \tan^{2} (x)$ 와 $\sec^{2} (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) - 5 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

단계 9.3.5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{\sec (x) (1 - 5 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

단계 9.3.6

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- 5 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

단계 9.3.7

$\sec (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sec (x) + \sec (x) (- 5 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

단계 9.3.8

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\sec (x) - 5 \sec (x) \sec (x)}{\tan^{2} (x)}$

단계 9.3.9

$- 5 \sec (x) \sec (x)$ 을 곱합니다.

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단계 9.3.9.1

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sec (x) - 5 (\sec^{1} (x) \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

단계 9.3.9.2

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sec (x) - 5 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x))}{\tan^{2} (x)}$

단계 9.3.9.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\sec (x) - 5 {\sec (x)}^{1 + 1}}{\tan^{2} (x)}$

단계 9.3.9.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\sec (x) - 5 \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

단계 9.4

$\sec (x) - 5 \sec^{2} (x)$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 9.4.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sec (x) \cdot 1 - 5 \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

단계 9.4.2

$- 5 \sec^{2} (x)$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- 5 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

단계 9.4.3

$\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- 5 \sec (x))$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sec (x) (1 - 5 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

단계 9.5

$\tan^{2} (x)$ 에서 $\tan (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sec (x) (1 - 5 \sec (x))}{\tan (x) \tan (x)}$

단계 9.6

분수를 나눕니다.

$\frac{1 - 5 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\tan (x)}$

단계 9.7

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{1 - 5 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

단계 9.8

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{1 - 5 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

단계 9.9

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{1 - 5 \sec (x)}{\tan (x)} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

단계 9.10

$\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.10.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 - 5 \sec (x)}{\tan (x)} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

단계 9.10.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 - 5 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

단계 9.11

$\frac{1}{\sin (x)}$ 을 $\csc (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{1 - 5 \sec (x)}{\tan (x)} \csc (x)$

단계 9.12

$\frac{1 - 5 \sec (x)}{\tan (x)}$ 와 $\csc (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{(1 - 5 \sec (x)) \csc (x)}{\tan (x)}$

단계 9.13

분수를 나눕니다.

$\frac{1 - 5 \sec (x)}{1} \cdot \frac{\csc (x)}{\tan (x)}$

단계 9.14

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{1 - 5 \sec (x)}{1} \cdot \frac{\csc (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

단계 9.15

$\csc (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{1 - 5 \sec (x)}{1} \cdot \frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

단계 9.16

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{1 - 5 \sec (x)}{1} (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

단계 9.17

간단히 합니다.

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단계 9.17.1

$\frac{1}{\sin (x)}$ 을 $\csc (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{1 - 5 \sec (x)}{1} (\csc (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

단계 9.17.2

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 $\cot (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{1 - 5 \sec (x)}{1} (\csc (x) \cot (x))$

단계 9.18

$1 - 5 \sec (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$(1 - 5 \sec (x)) (\csc (x) \cot (x))$

단계 9.19

분배 법칙을 적용합니다.

$1 (\csc (x) \cot (x)) - 5 \sec (x) (\csc (x) \cot (x))$

단계 9.20

$\csc (x) \cot (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\csc (x) \cot (x) - 5 \sec (x) \csc (x) \cot (x)$