미적분 예제

$x^{2} \sin (x) + 2 x \cos (x) - 2 \sin (x)$

단계 1

합의 법칙에 의해 $x^{2} \sin (x) + 2 x \cos (x) - 2 \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 2.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x \cos (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ 입니다.

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 3.3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 3.5

$\cos (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 4

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 \sin (x)$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 4.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 2 \cos (x)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + 2 (x (- \sin (x))) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x)$

단계 5.2

항을 묶습니다.

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단계 5.2.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) - 2 (x (\sin (x))) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x)$

단계 5.2.2

$\sin (x) (2 x)$ 에서 $2 x \sin (x)$ 을 뺍니다.

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단계 5.2.2.1

$\sin (x)$ 를 옮깁니다.

$x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x) - 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x)$

단계 5.2.2.2

$2 x \sin (x)$ 에서 $2 x \sin (x)$ 을 뺍니다.

$x^{2} \cos (x) + 0 + 2 \cos (x) - 2 \cos (x)$

단계 5.2.3

$x^{2} \cos (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{2} \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x)$

단계 5.2.4

$2 \cos (x)$ 에서 $2 \cos (x)$ 을 뺍니다.

$x^{2} \cos (x) + 0$

단계 5.2.5

$x^{2} \cos (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{2} \cos (x)$