미적분 예제

$\frac{a x + b}{c x + d}$

단계 1

$f (x) = a x + b$ , $g (x) = c x + d$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(c x + d) \frac{d}{d x} [a x + b] - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

단계 2

합의 법칙에 의해 $a x + b$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]$ 가 됩니다.

$\frac{(c x + d) (\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

단계 3

$\frac{d}{d x} [a x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$a$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $a x$ 의 미분은 $a \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(c x + d) (a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(c x + d) (a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

단계 3.3

$a$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(c x + d) (a + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$b$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $b$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $b$ 입니다.

$\frac{(c x + d) (a + 0) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

단계 4.2

$a$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

단계 4.3

합의 법칙에 의해 $c x + d$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$ 가 됩니다.

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

단계 5

$\frac{d}{d x} [c x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.1

$c$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $c x$ 의 미분은 $c \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

단계 5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c \cdot 1 + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

단계 5.3

$c$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

단계 6

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

$d$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $d$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $d$ 입니다.

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c + 0)}{{(c x + d)}^{2}}$

단계 6.2

$c$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{c x a + d a - (a x + b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{c x a + d a + (- (a x) - b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

단계 7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{c x a + d a - (a x) c - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

단계 7.4

$c x a + d a - (a x) c - b c$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 7.4.1

인수가 항 $c x a$ 과(와) $- (a x) c$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{a c x + d a - a c x - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

단계 7.4.2

$a c x$ 에서 $a c x$ 을 뺍니다.

$\frac{d a + 0 - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

단계 7.4.3

$d a$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d a - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

단계 7.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{a d - b c}{{(d + c x)}^{2}}$