미적분 예제

${(x^{4} + 9)}^{8} (4 x^{3} d x)$

단계 1

간단히 합니다.

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단계 1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int {(x^{4} + 9)}^{8} (4 d (x^{3} x^{1})) d x$

단계 1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int {(x^{4} + 9)}^{8} (4 d x^{3 + 1}) d x$

단계 1.3

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int {(x^{4} + 9)}^{8} (4 d x^{4}) d x$

단계 1.4

${(x^{4} + 9)}^{8}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\int 4 {(x^{4} + 9)}^{8} d x^{4} d x$

단계 2

$4 d$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4 d$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 d \int {(x^{4} + 9)}^{8} x^{4} d x$

단계 3

먼저 $u_{1} = x^{4} + 9$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.1

$u_{1} = x^{4} + 9$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$x^{4} + 9$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 9]$

단계 3.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{4} + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 3.1.3

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 3.1.4

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$4 x^{3} + 0$

단계 3.1.5

$4 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 x^{3}$

단계 3.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$4 d \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} \frac{1}{4} d u_{1}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{4}$ 와 ${u_{1}}^{8}$ 을 묶습니다.

$4 d \int \frac{{u_{1}}^{8}}{4} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

단계 4.2

$\frac{{u_{1}}^{8}}{4}$ 와 $\sqrt[4]{u_{1} - 9}$ 을 묶습니다.

$4 d \int \frac{{u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9}}{4} d u_{1}$

단계 5

$\frac{1}{4}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 d (\frac{1}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1})$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$4$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$d (\frac{4}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1})$

단계 6.2

$\frac{4}{4}$ 와 $d$ 을 묶습니다.

$\frac{4 d}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

단계 6.3

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 d}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

단계 6.3.2

$d$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

단계 7

$u = {u_{1}}^{8}$ 이고 $d v = \sqrt[4]{u_{1} - 9}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$d ({u_{1}}^{8} (\frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}) - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{4}{5}$ 와 ${u_{2}}^{\frac{5}{4}}$ 을 묶습니다.

$d ({u_{1}}^{8} \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

단계 8.2

${u_{1}}^{8}$ 와 $\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ 을 묶습니다.

$d (\frac{{u_{1}}^{8} (4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}})}{5} - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

단계 8.3

${u_{1}}^{8}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$d (\frac{4 \cdot {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

단계 8.4

$\frac{4}{5}$ 와 ${u_{2}}^{\frac{5}{4}}$ 을 묶습니다.

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

단계 8.5

$8$ 와 $\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ 을 묶습니다.

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{8 (4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}})}{5} {u_{1}}^{7} d u_{1})$

단계 8.6

$4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} {u_{1}}^{7} d u_{1})$

단계 8.7

$\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ 와 ${u_{1}}^{7}$ 을 묶습니다.

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{7}}{5} d u_{1})$

단계 9

$\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - (\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} \int {u_{1}}^{7} d u_{1}))$

단계 10

멱의 법칙에 의해 ${u_{1}}^{7}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{8} {u_{1}}^{8}$ 가 됩니다.

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (\frac{1}{8} {u_{1}}^{8} + C))$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

$\frac{1}{8}$ 와 ${u_{1}}^{8}$ 을 묶습니다.

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (\frac{{u_{1}}^{8}}{8} + C))$

단계 11.2

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (\frac{{u_{1}}^{8}}{8} + C))$ 을 $d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}) + C$

단계 11.3

간단히 합니다.

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단계 11.3.1

항을 다시 정렬합니다.

$d (\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5} - \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}) + C$

단계 11.3.2

$\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}$ 에서 $\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}$ 을 뺍니다.

$d \cdot 0 + C$

단계 11.3.3

$d$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + C$

단계 11.3.4

$0$ 를 $C$ 에 더합니다.

$C$