미적분 예제

$y = \arctan (\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}})$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}$ 을(를) ${(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}})]$

단계 2

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.2

$\arctan (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + {({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3

${({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{1}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4

간단히 합니다.

$\frac{1}{1 + \frac{1 + x}{1 - x}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 5

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{\frac{1 - x}{1 - x} + \frac{1 + x}{1 - x}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{\frac{1 - x + 1 + x}{1 - x}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{\frac{- x + 2 + x}{1 - x}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 8

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{1}{\frac{0 + 2}{1 - x}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 9

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1}{\frac{2}{1 - x}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 10

$\frac{2}{1 - x}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$1 \frac{1 - x}{2} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 11

$\frac{1 - x}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - x}{2} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 12

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = \frac{1 + x}{1 - x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 12.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\frac{1 + x}{1 - x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1 - x}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

단계 12.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

단계 12.3

$u_{2}$ 를 모두 $\frac{1 + x}{1 - x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

단계 13

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

단계 14

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

단계 15

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

단계 16

분자를 간단히 합니다.

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단계 16.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

단계 16.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

단계 17

분수를 통분합니다.

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단계 17.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

단계 17.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1 - x}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - x}{2 \cdot 2} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

단계 17.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

단계 18

$f (x) = 1 + x$ , $g (x) = 1 - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}})$

단계 19

미분합니다.

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단계 19.1

합의 법칙에 의해 $1 + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}})$

단계 19.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}})$

단계 19.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x]$ 에 더합니다.

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}})$

단계 19.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}})$

단계 19.5

$1 - x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}})$

단계 19.6

합의 법칙에 의해 $1 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}})$

단계 19.7

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}})$

단계 19.8

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}})$

단계 19.9

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}})$

단계 19.10

곱합니다.

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단계 19.10.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + 1 (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}})$

단계 19.10.2

$1 + x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}})$

단계 19.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + (1 + x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}})$

단계 19.12

항을 간단히 합니다.

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단계 19.12.1

$1 + x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}})$

단계 19.12.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- x + 2 + x}{{(1 - x)}^{2}})$

단계 19.12.3

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{0 + 2}{{(1 - x)}^{2}})$

단계 19.12.4

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2}{{(1 - x)}^{2}})$

단계 19.12.5

$\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$ 에 $\frac{1 - x}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (1 - x)}{{(1 - x)}^{2} \cdot 4} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 19.12.6

${(1 - x)}^{2}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{2 (1 - x)}{4 \cdot {(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 20

공약수로 약분합니다.

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단계 20.1

$4 {(1 - x)}^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (1 - x)}{2 (2 {(1 - x)}^{2})} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 20.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (1 - x)}{2 (2 {(1 - x)}^{2})} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 20.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 - x}{2 {(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 21

$1 - x$ 및 ${(1 - x)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 21.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 - x) \cdot 1}{2 {(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 21.2

공약수로 약분합니다.

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단계 21.2.1

$2 {(1 - x)}^{2}$ 에서 $1 - x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(1 - x) \cdot 1}{(1 - x) (2 (1 - x))} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 21.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(1 - x) \cdot 1}{(1 - x) (2 (1 - x))} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 21.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2 (1 - x)} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 22

간단히 합니다.

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단계 22.1

밑을 역수로 만들어 지수의 부호를 바꿉니다.

$\frac{1}{2 (1 - x)} {(\frac{1 - x}{1 + x})}^{\frac{1}{2}}$

단계 22.2

$\frac{1 - x}{1 + x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2 (1 - x)} \cdot \frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 1 + 2 (- x)} \cdot \frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22.4

항을 묶습니다.

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단계 22.4.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 + 2 (- x)} \cdot \frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22.4.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 - 2 x} \cdot \frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22.4.3

$\frac{1}{2 - 2 x}$ 에 $\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{(2 - 2 x) {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{{(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 - 2 x)}$

단계 22.6

$2 - 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 22.6.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 (1) - 2 x)}$

단계 22.6.2

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 (1) + 2 (- x))}$

단계 22.6.3

$2 (1) + 2 (- x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 (1 - x))}$

$\frac{{(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (1 - x)}$

단계 22.7

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{{(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (- x + 1)}$

단계 22.8

${(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $- x + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(- x + 1) {(- x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (- x + 1)}$

단계 22.9

공약수로 약분합니다.

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단계 22.9.1

${(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (- x + 1)$ 에서 $- x + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(- x + 1) {(- x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{(- x + 1) ({(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2)}$

단계 22.9.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(- x + 1) {(- x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{(- x + 1) ({(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2)}$

단계 22.9.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{(- x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

단계 22.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(- x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22.11

${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$