미적분 예제

$y = \arctan (\sqrt{x})$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{\frac{1}{2}})]$

단계 2

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.2

$\arctan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{1 + x^{1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 4

간단히 합니다.

$\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 5

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 7

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 9

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

단계 9.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

단계 10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

단계 11

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{1 + x} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 12

$\frac{1}{1 + x}$ 에 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{(1 + x) \cdot 2}$

단계 13

식을 간단히 합니다.

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단계 13.1

$1 + x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + x)}$

단계 13.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 (1 + x) x^{\frac{1}{2}}}$

단계 14

간단히 합니다.

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단계 14.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{(2 \cdot 1 + 2 x) x^{\frac{1}{2}}}$

단계 14.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 1 x^{\frac{1}{2}} + 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

단계 14.3

항을 묶습니다.

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단계 14.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

단계 14.3.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 14.3.2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x)}$

단계 14.3.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 14.3.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}$

단계 14.3.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2} + 1}}$

단계 14.3.2.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

단계 14.3.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

단계 14.3.2.5

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 14.4

분모를 간단히 합니다.

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단계 14.4.1

$2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}$ 에서 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

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단계 14.4.1.1

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1) + 2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 14.4.1.2

$2 x^{\frac{3}{2}}$ 에서 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1) + 2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{2}{2}})}$

단계 14.4.1.3

$2 x^{\frac{1}{2}} (1) + 2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{2}{2}})$ 에서 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{2}{2}})}$

단계 14.4.2

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{1})}$

단계 14.4.3

간단히 합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$