미적분 예제

$y = \frac{\ln (x)}{e^{2 x}}$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = e^{2 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(e^{2 x})}^{2}}$

단계 2

${(e^{2 x})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{2 x \cdot 2}}$

단계 2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

단계 3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{e^{2 x} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

단계 4

$e^{2 x}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

단계 5

$\frac{\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

단계 6

항을 간단히 합니다.

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단계 6.1

조합합니다.

$\frac{x (\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \frac{e^{2 x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

단계 6.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{e^{2 x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

단계 6.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

단계 7

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]))}{x e^{4 x}}$

단계 7.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]))}{x e^{4 x}}$

단계 7.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]))}{x e^{4 x}}$

단계 8

미분합니다.

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단계 8.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])))}{x e^{4 x}}$

단계 8.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{2 x} + x (- 2 \ln (x) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x])))}{x e^{4 x}}$

단계 8.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{2 x} + x (- 2 \ln (x) (e^{2 x} \cdot 1))}{x e^{4 x}}$

단계 8.4

$e^{2 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{2 x} + x (- 2 \ln (x) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 9.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{e^{2 x} - 2 x (\ln (x) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

단계 9.1.2

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \ln (x)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x^{2}) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

단계 9.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{e^{2 x} - x (\ln (x^{2}) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

$\frac{e^{2 x} - x e^{2 x} \ln (x^{2})}{x e^{4 x}}$

단계 9.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- e^{2 x} x \ln (x^{2}) + e^{2 x}}{e^{4 x} x}$

단계 9.3

$- e^{2 x} x \ln (x^{2}) + e^{2 x}$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 9.3.1

$- e^{2 x} x \ln (x^{2})$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{2 x} (- x \ln (x^{2})) + e^{2 x}}{e^{4 x} x}$

단계 9.3.2

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{2 x} (- x \ln (x^{2})) + e^{2 x} \cdot 1}{e^{4 x} x}$

단계 9.3.3

$e^{2 x} (- x \ln (x^{2})) + e^{2 x} \cdot 1$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{2 x} (- x \ln (x^{2}) + 1)}{e^{4 x} x}$

단계 9.4

$2$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (x^{2})$ 을 전개합니다.

$\frac{e^{2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1)}{e^{4 x} x}$

단계 9.5

$e^{2 x}$ 및 $e^{4 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.5.1

$e^{2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1)$ 에서 $e^{4 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{4 x} (e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1))}{e^{4 x} x}$

단계 9.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 9.5.2.1

$e^{4 x} x$ 에서 $e^{4 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{4 x} (e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1))}{e^{4 x} (x)}$

단계 9.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{4 x} (e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1))}{e^{4 x} x}$

단계 9.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1)}{x}$

단계 9.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{- 2 x} (- 2 x \ln (x) + 1)}{x}$

단계 9.7

$- 2 x \ln (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x \ln (x)) + 1)}{x}$

단계 9.8

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x \ln (x)) - 1 (- 1))}{x}$

단계 9.9

$- (2 x \ln (x)) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x \ln (x) - 1))}{x}$

단계 9.10

$- (2 x \ln (x) - 1)$ 을 $- 1 (2 x \ln (x) - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{e^{- 2 x} (- 1 (2 x \ln (x) - 1))}{x}$

단계 9.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{e^{- 2 x} (2 x \ln (x) - 1)}{x}$