미적분 예제

$y = x^{5} \ln (x) - \frac{1}{3} x^{3}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $x^{5} \ln (x) - \frac{1}{3} x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = x^{5}$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

단계 2.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

단계 2.3

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

단계 2.4

$x^{5}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

단계 2.5

$x^{5}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.1

$x^{5}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

단계 2.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

단계 2.5.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

단계 2.5.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

단계 2.5.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

단계 2.5.2.5

$x^{4}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- \frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{1}{3} x^{3}$ 의 미분은 $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) - \frac{1}{3} (3 x^{2})$

단계 3.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) - 3 (\frac{1}{3}) x^{2}$

단계 3.4

$- 3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{- 3}{3} x^{2}$

단계 3.5

$\frac{- 3}{3}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

단계 3.6

$- 3$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.6.1

$- 3 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{3 (- x^{2})}{3}$

단계 3.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.6.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{3 (- x^{2})}{3 (1)}$

단계 3.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1}$

단계 3.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{- x^{2}}{1}$

단계 3.6.2.4

$- x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) - x^{2}$

단계 4

항을 다시 정렬합니다.

$x^{4} - x^{2} + 5 x^{4} \ln (x)$