미적분 예제

$y = x^{1 - x}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

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단계 1.1

$x^{1 - x}$ 을 $e^{\ln (x^{1 - x})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{1 - x})}]$

단계 1.2

$1 - x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (x^{1 - x})$ 을 전개합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{(1 - x) \ln (x)}]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = (1 - x) \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $(1 - x) \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [(1 - x) \ln (x)]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [(1 - x) \ln (x)]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $(1 - x) \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$e^{(1 - x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [(1 - x) \ln (x)]$

단계 3

$f (x) = 1 - x$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [1 - x])$

단계 4

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [1 - x])$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

합의 법칙에 의해 $1 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]))$

단계 5.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

단계 5.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [- x])$

단계 5.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- \frac{d}{d x} [x]))$

단계 5.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- 1 \cdot 1))$

단계 5.6

식을 간단히 합니다.

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단계 5.6.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot - 1)$

단계 5.6.2

$\ln (x)$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} - 1 \cdot \ln (x))$

단계 5.6.3

$- 1 \ln (x)$ 을 $- \ln (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} - \ln (x))$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{1 \ln (x) - x \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} - \ln (x))$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{1 \ln (x) - x \ln (x)} (1 \frac{1}{x} - x \frac{1}{x} - \ln (x))$

단계 6.3

항을 묶습니다.

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단계 6.3.1

$\ln (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 \frac{1}{x} - x \frac{1}{x} - \ln (x))$

단계 6.3.2

$\frac{1}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - x \frac{1}{x} - \ln (x))$

단계 6.3.3

$\frac{1}{x}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - \frac{x}{x} - \ln (x))$

단계 6.3.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - \frac{x}{x} - \ln (x))$

단계 6.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - 1 \cdot 1 - \ln (x))$

단계 6.3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - 1 - \ln (x))$

단계 6.4

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} \frac{1}{x} + e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot - 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x))$

단계 6.5

간단히 합니다.

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단계 6.5.1

$e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} + e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot - 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x))$

단계 6.5.2

$e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - 1 \cdot e^{\ln (x) - x \ln (x)} + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x))$

단계 6.5.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - 1 \cdot e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

단계 6.6

$- 1 e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ 을 $- e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

단계 6.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot \frac{x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

단계 6.8

$- e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ 와 $\frac{x}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} + \frac{- e^{\ln (x) - x \ln (x)} x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

단계 6.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

단계 6.10

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} x$ 에서 $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.10.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot 1 - e^{\ln (x) - x \ln (x)} x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

단계 6.10.2

$- e^{\ln (x) - x \ln (x)} x$ 에서 $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- x)}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

단계 6.10.3

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- x)$ 에서 $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x)}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

단계 6.11

공통 분모를 가지는 분수로 $- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x)}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) \cdot \frac{x}{x}$

단계 6.12

$- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$ 와 $\frac{x}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x)}{x} + \frac{- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

단계 6.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

단계 6.14

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x$ 에서 $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.14.1

$- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x$ 에서 $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x) x)}{x}$

단계 6.14.2

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x) x)$ 에서 $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x - \ln (x) x)}{x}$

단계 6.15

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x - \ln (x) x)}{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x - x \ln (x))}{x}$