미적분 예제

$y = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$

단계 1

$f (x) = e^{x} - 1$ , $g (x) = e^{x} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1] - (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 2

합의 법칙에 의해 $e^{x} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{(e^{x} + 1) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{x} + 0) - (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 4.2

$e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(e^{x} + 1) e^{x} - (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 4.3

합의 법칙에 의해 $e^{x} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{(e^{x} + 1) e^{x} - (e^{x} - 1) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 5

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(e^{x} + 1) e^{x} - (e^{x} - 1) (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 6

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(e^{x} + 1) e^{x} - (e^{x} - 1) (e^{x} + 0)}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 6.2

$e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(e^{x} + 1) e^{x} - (e^{x} - 1) e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x} e^{x} + 1 e^{x} - (e^{x} - 1) e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x} e^{x} + 1 e^{x} + (- e^{x} - - 1) e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x} e^{x} + 1 e^{x} - e^{x} e^{x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 7.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.4.1

$e^{x} e^{x} + 1 e^{x} - e^{x} e^{x} - - 1 e^{x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 7.4.1.1

$e^{x} e^{x}$ 에서 $e^{x} e^{x}$ 을 뺍니다.

$\frac{1 e^{x} + 0 - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 7.4.1.2

$1 e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1 e^{x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 7.4.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.4.2.1

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 7.4.2.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x} + 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 7.4.2.3

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x} + e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 7.4.3

$e^{x}$ 를 $e^{x}$ 에 더합니다.

$\frac{2 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$