미적분 예제

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{3}}$

단계 1

$f (x) = x^{2} - 1$ , $g (x) = x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

${(x^{3})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

단계 2.1.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 2.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{x^{3} (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 2.5

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{3} (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 3

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{x \cdot x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 3.2

$x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{1} x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{1 + 3} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 3.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{x^{4} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 4

$x^{4}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot x^{4} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 5

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 x^{4} - (x^{2} - 1) (3 x^{2})}{x^{6}}$

단계 6

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{4} - 3 (x^{2} - 1) x^{2}}{x^{6}}$

단계 6.2

$2 x^{4} - 3 (x^{2} - 1) x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.2.1

$2 x^{4}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (2 x^{2}) - 3 (x^{2} - 1) x^{2}}{x^{6}}$

단계 6.2.2

$- 3 (x^{2} - 1) x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 1))}{x^{6}}$

단계 6.2.3

$x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 1))$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1))}{x^{6}}$

단계 7

공약수로 약분합니다.

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단계 7.1

$x^{6}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1))}{x^{2} x^{4}}$

단계 7.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1))}{x^{2} x^{4}}$

단계 7.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1)}{x^{4}}$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} - 3 x^{2} - 3 \cdot - 1}{x^{4}}$

단계 8.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - 3 x^{2} + 3}{x^{4}}$

단계 8.2.2

$2 x^{2}$ 에서 $3 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- x^{2} + 3}{x^{4}}$

단계 8.3

$- x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x^{2}) + 3}{x^{4}}$

단계 8.4

$3$ 을 $- 1 (- 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (x^{2}) - 1 (- 3)}{x^{4}}$

단계 8.5

$- (x^{2}) - 1 (- 3)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x^{2} - 3)}{x^{4}}$

단계 8.6

$- (x^{2} - 3)$ 을 $- 1 (x^{2} - 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x^{2} - 3)}{x^{4}}$

단계 8.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x^{2} - 3}{x^{4}}$