미적분 예제

$y = {(1 - x^{- 1})}^{- 1}$

단계 1

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = 1 - x^{- 1}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 - x^{- 1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - x^{- 1}]$

단계 1.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{- 1}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $1 - x^{- 1}$ 로 바꿉니다.

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{- 1}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $1 - x^{- 1}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ 가 됩니다.

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}])$

단계 2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}])$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ 에 더합니다.

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

단계 2.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{- 1}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ 입니다.

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

단계 2.5

곱합니다.

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단계 2.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 {(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 2.5.2

${(1 - x^{- 1})}^{- 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 2.6

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(1 - x^{- 1})}^{- 2} (- x^{- 2})$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

${(1 - x^{- 1})}^{- 2} (- x^{- 2})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- x^{- 2} {(1 - x^{- 1})}^{- 2}$

단계 3.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{x^{2}} {(1 - x^{- 1})}^{- 2}$

단계 3.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{x^{2}} {(1 - \frac{1}{x})}^{- 2}$

단계 3.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{{(1 - \frac{1}{x})}^{2}}$

단계 3.5

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{{(\frac{x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}$

단계 3.5.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{{(\frac{x - 1}{x})}^{2}}$

단계 3.5.3

$\frac{x - 1}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}}}$

단계 3.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- \frac{1}{x^{2}} (1 \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}})$

단계 3.7

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.8

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.8.1

$- \frac{1}{x^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.8.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.8.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$