미적분 예제

$h (x) = {(x + x^{- 1})}^{3}$

단계 1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x + x^{- 1}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + x^{- 1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + x^{- 1}]$

단계 1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + x^{- 1}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x + x^{- 1}$ 로 바꿉니다.

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} \frac{d}{d x} [x + x^{- 1}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x + x^{- 1}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ 가 됩니다.

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

단계 2.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} (1 - x^{- 2})$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$3 {(x + \frac{1}{x})}^{2} (1 - x^{- 2})$

단계 3.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$3 {(x + \frac{1}{x})}^{2} (1 - \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.3

${(x + \frac{1}{x})}^{2}$ 을 $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ 로 바꿔 씁니다.

$3 ((x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ 를 전개합니다.

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단계 3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (x (x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x})) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x})) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.5

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.5.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$3 (x^{2} + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.5.1.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$3 (x^{2} + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.5.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$3 (x^{2} + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.5.1.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$3 (x^{2} + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.5.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.5.1.4

$\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.1.4.1

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x \cdot x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.5.1.4.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.5.1.4.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x^{1}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.5.1.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1 + 1}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.5.1.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.5.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$3 (x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.6

분배 법칙을 적용합니다.

$(3 x^{2} + 3 \cdot 2 + 3 \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.7

간단히 합니다.

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단계 3.7.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(3 x^{2} + 6 + 3 \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.7.2

$3$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$(3 x^{2} + 6 + \frac{3}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.8

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(3 x^{2} + 6 + \frac{3}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$ 를 전개합니다.

$3 x^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} (- \frac{1}{x^{2}}) + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.9

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.9.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} + 3 x^{2} (- \frac{1}{x^{2}}) + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.9.2

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.9.2.1

$- \frac{1}{x^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$3 x^{2} + 3 x^{2} \frac{- 1}{x^{2}} + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.9.2.2

$3 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$3 x^{2} + x^{2} \cdot 3 \frac{- 1}{x^{2}} + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.9.2.3

공약수로 약분합니다.

$3 x^{2} + x^{2} \cdot 3 \frac{- 1}{x^{2}} + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.9.2.4

수식을 다시 씁니다.

$3 x^{2} + 3 \cdot - 1 + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.9.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} - 3 + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.9.4

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} - 3 + 6 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.9.5

$6 (- \frac{1}{x^{2}})$ 을 곱합니다.

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단계 3.9.5.1

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} - 3 + 6 - 6 \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.9.5.2

$- 6$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$3 x^{2} - 3 + 6 + \frac{- 6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.9.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.9.7

$\frac{3}{x^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.9.8

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

단계 3.9.9

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 3.9.9.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 에 $\frac{3}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2} x^{2}}$

단계 3.9.9.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.9.9.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2 + 2}}$

단계 3.9.9.2.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}$

단계 3.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$3 x^{2} - 3 + 6 + \frac{- 6 + 3}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

단계 3.11

$- 6$ 를 $3$ 에 더합니다.

$3 x^{2} - 3 + 6 + \frac{- 3}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

단계 3.12

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.12.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

단계 3.12.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}$

단계 3.13

$- 3$ 를 $6$ 에 더합니다.

$3 x^{2} + 3 - \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}$