미적분 예제

$x {(12 - 2 x)}^{2}$

단계 1

${(12 - 2 x)}^{2}$ 을 $(12 - 2 x) (12 - 2 x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x ((12 - 2 x) (12 - 2 x))]$

단계 2

FOIL 계산법을 이용하여 $(12 - 2 x) (12 - 2 x)$ 를 전개합니다.

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단계 2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [x (12 (12 - 2 x) - 2 x (12 - 2 x))]$

단계 2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [x (12 \cdot 12 + 12 (- 2 x) - 2 x (12 - 2 x))]$

단계 2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [x (12 \cdot 12 + 12 (- 2 x) - 2 x \cdot 12 - 2 x (- 2 x))]$

단계 3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

$12$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x (144 + 12 (- 2 x) - 2 x \cdot 12 - 2 x (- 2 x))]$

단계 3.1.2

$- 2$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x (144 - 24 x - 2 x \cdot 12 - 2 x (- 2 x))]$

단계 3.1.3

$12$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x (144 - 24 x - 24 x - 2 x (- 2 x))]$

단계 3.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x (144 - 24 x - 24 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

단계 3.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{d}{d x} [x (144 - 24 x - 24 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

단계 3.1.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x (144 - 24 x - 24 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

단계 3.1.6

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x (144 - 24 x - 24 x + 4 x^{2})]$

단계 3.2

$- 24 x$ 에서 $24 x$ 을 뺍니다.

$\frac{d}{d x} [x (144 - 48 x + 4 x^{2})]$

단계 4

$f (x) = x$ , $g (x) = 144 - 48 x + 4 x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [144 - 48 x + 4 x^{2}] + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

합의 법칙에 의해 $144 - 48 x + 4 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [144] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 가 됩니다.

$x (\frac{d}{d x} [144] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.2

$144$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $144$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $144$ 입니다.

$x (0 + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ 에 더합니다.

$x (\frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.4

$- 48$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 48 x$ 의 미분은 $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x (- 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (- 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.6

$- 48$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (- 48 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.7

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$x (- 48 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (- 48 + 4 (2 x)) + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.9

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x (- 48 + 8 x) + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (- 48 + 8 x) + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \cdot 1$

단계 5.11

$144 - 48 x + 4 x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (- 48 + 8 x) + 144 - 48 x + 4 x^{2}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x \cdot - 48 + x (8 x) + 144 - 48 x + 4 x^{2}$

단계 6.2

항을 묶습니다.

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단계 6.2.1

$x$ 의 왼쪽으로 $- 48$ 이동하기

$- 48 \cdot x + x (8 x) + 144 - 48 x + 4 x^{2}$

단계 6.2.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 48 x + 8 (x^{1} x) + 144 - 48 x + 4 x^{2}$

단계 6.2.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 48 x + 8 (x^{1} x^{1}) + 144 - 48 x + 4 x^{2}$

단계 6.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 48 x + 8 x^{1 + 1} + 144 - 48 x + 4 x^{2}$

단계 6.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 48 x + 8 x^{2} + 144 - 48 x + 4 x^{2}$

단계 6.2.6

$- 48 x$ 에서 $48 x$ 을 뺍니다.

$- 96 x + 8 x^{2} + 144 + 4 x^{2}$

단계 6.2.7

$8 x^{2}$ 를 $4 x^{2}$ 에 더합니다.

$- 96 x + 12 x^{2} + 144$

단계 6.3

항을 다시 정렬합니다.

$12 x^{2} - 96 x + 144$