미적분 예제

$f (x) = e^{2 x - 1}$

단계 1

$f (x) = e^{2 x - 1}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = e^{2 x - 1}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = e^{2 y - 1}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$e^{2 y - 1} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$e^{2 y - 1} = x$

단계 3.2

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{2 y - 1}) = \ln (x)$

단계 3.3

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$2 y - 1$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{2 y - 1})$ 을 전개합니다.

$(2 y - 1) \ln (e) = \ln (x)$

단계 3.3.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$(2 y - 1) \cdot 1 = \ln (x)$

단계 3.3.3

$2 y - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 y - 1 = \ln (x)$

단계 3.4

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$2 y = \ln (x) + 1$

단계 3.5

$2 y = \ln (x) + 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$2 y = \ln (x) + 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

단계 3.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

단계 3.5.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ 가 $f (x) = e^{2 x - 1}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (e^{2 x - 1})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1})}{2} + \frac{1}{2}$

단계 5.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1}) + 1}{2}$

단계 5.2.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

로그 공식을 이용해 지수에서 $2 x - 1$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \ln (e) + 1}{2}$

단계 5.2.4.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \cdot 1 + 1}{2}$

단계 5.2.4.3

$2 x - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

단계 5.2.5

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.1

$2 x - 1 + 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.1.1

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x + 0}{2}$

단계 5.2.5.1.2

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

단계 5.2.5.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.2.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

단계 5.2.5.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) - 1}$

단계 5.3.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1

$\frac{\ln (x)}{2}$ 을 $\frac{1}{2} \ln (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \frac{1}{2}) - 1}$

단계 5.3.3.1.2

$\frac{1}{2}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{2} \ln (x)$ 을 간단히 합니다.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) - 1}$

단계 5.3.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

단계 5.3.3.3

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ 을 간단히 합니다.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

단계 5.3.3.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

단계 5.3.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 1 - 1}$

단계 5.3.3.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.5.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.5.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

단계 5.3.3.5.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.5.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

단계 5.3.3.5.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}$

단계 5.3.3.5.2

간단히 합니다.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}$

단계 5.3.4

$\ln (x) + 1 - 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 0}$

단계 5.3.4.2

$\ln (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x)}$

단계 5.3.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ 은 $f (x) = e^{2 x - 1}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$