미적분 예제

$e^{2 x} = \sin (x + 3 y)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (e^{2 x}) = \frac{d}{d x} (\sin (x + 3 y))$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

단계 2.2.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} \cdot 2$

단계 2.2.3.2

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 e^{2 x}$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = x + 3 y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 3 y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

단계 3.1.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $x + 3 y$ 로 바꿉니다.

$\cos (x + 3 y) \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

단계 3.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $x + 3 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ 가 됩니다.

$\cos (x + 3 y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

단계 3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (x + 3 y) (1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

단계 3.2.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 y$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [y]$ 입니다.

$\cos (x + 3 y) (1 + 3 \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (x + 3 y) (1 + 3 y')$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$2 e^{2 x} = \cos (x + 3 y) (1 + 3 y')$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\cos (x + 3 y) (1 + 3 y') = 2 e^{2 x}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\cos (x + 3 y) (1 + 3 y') = 2 e^{2 x}$

단계 5.2

$\cos (x + 3 y) (1 + 3 y') = 2 e^{2 x}$ 의 각 항을 $\cos (x + 3 y)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$\cos (x + 3 y) (1 + 3 y') = 2 e^{2 x}$ 의 각 항을 $\cos (x + 3 y)$ 로 나눕니다.

$\frac{\cos (x + 3 y) (1 + 3 y')}{\cos (x + 3 y)} = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}$

단계 5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$\cos (x + 3 y)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\cos (x + 3 y) (1 + 3 y')}{\cos (x + 3 y)} = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}$

단계 5.2.2.1.2

$1 + 3 y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 + 3 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}$

단계 5.3

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$3 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)} - 1$

단계 5.4

$3 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)} - 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$3 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)} - 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}}{3} + \frac{- 1}{3}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}}{3} + \frac{- 1}{3}$

단계 5.4.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{\frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}}{3} + \frac{- 1}{3}$

단계 5.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{- 1}{3}$

단계 5.4.3.1.2

조합합니다.

$y' = \frac{2 e^{2 x} \cdot 1}{\cos (x + 3 y) \cdot 3} + \frac{- 1}{3}$

단계 5.4.3.1.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y) \cdot 3} + \frac{- 1}{3}$

단계 5.4.3.1.4

$\cos (x + 3 y)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{3 \cdot \cos (x + 3 y)} + \frac{- 1}{3}$

단계 5.4.3.1.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{3 \cos (x + 3 y)} - \frac{1}{3}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 e^{2 x}}{3 \cos (x + 3 y)} - \frac{1}{3}$