미적분 예제

$u = v^{2} \sqrt{8 v - 3}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{8 u' - 3}$ 을(를) ${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$u = {u'}^{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d u'} u = \frac{d}{d u'} ({u'}^{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}})$

단계 3

$u$ 를 $u'$ 에 대해 미분하면 $u'$ 입니다.

$u'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$f (u') = {u'}^{2}$ , $g (u') = {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d v} [f (u') g (u')]$ 는 $f (u') \frac{d}{d v} [g (u')] + g (u') \frac{d}{d v} [f (u')]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

${u'}^{2} \frac{d}{d v} [{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

단계 4.2

$f (u') = {u'}^{\frac{1}{2}}$ , $g (u') = 8 u' - 3$ 일 때 $\frac{d}{d v} [f (g (u'))]$ 는 $f' (g (u')) g' (u')$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $8 u' - 3$ 로 바꿉니다.

${u'}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

단계 4.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

단계 4.2.3

$u$ 를 모두 $8 u' - 3$ 로 바꿉니다.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

단계 4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

단계 4.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

단계 4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

단계 4.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

단계 4.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

단계 4.7

분수를 통분합니다.

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단계 4.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

단계 4.7.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(8 u' - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

${u'}^{2} (\frac{{(8 u' - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

단계 4.7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(8 u' - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

${u'}^{2} (\frac{1}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

단계 4.7.4

$\frac{1}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 ${u'}^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3] + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

단계 4.8

합의 법칙에 의해 $8 u' - 3$ 를 $u'$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d v} [8 u'] + \frac{d}{d v} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d v} [8 u'] + \frac{d}{d v} [- 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

단계 4.9

$8$ 은 $u'$ 에 대해 일정하므로 $u'$ 에 대한 $8 u'$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d v} [u']$ 입니다.

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 \frac{d}{d v} [u'] + \frac{d}{d v} [- 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

단계 4.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ 는 $n {u'}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

단계 4.11

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 + \frac{d}{d v} [- 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

단계 4.12

$- 3$ 이 $u'$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $u'$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 + 0) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

단계 4.13

항을 간단히 합니다.

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단계 4.13.1

$8$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 8 + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

단계 4.13.2

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $8$ 을 묶습니다.

$\frac{{u'}^{2} \cdot 8}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

단계 4.13.3

${u'}^{2}$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$\frac{8 \cdot {u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

단계 4.13.4

$8 {u'}^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (4 {u'}^{2})}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

단계 4.14

공약수로 약분합니다.

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단계 4.14.1

$2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (4 {u'}^{2})}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

단계 4.14.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (4 {u'}^{2})}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

단계 4.14.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

단계 4.15

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ 는 $n {u'}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} (2 u')$

단계 4.16

${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} u'$

단계 4.17

공통분모를 사용하여 $\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} u'$ 을 하나로 묶습니다.

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단계 4.17.1

${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$

단계 4.17.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.17.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.18

지수를 더하여 ${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 4.18.1

${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' ({(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.18.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.18.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.18.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{2}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.18.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{1}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.19

$2 u' {(8 u' - 3)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' (8 u' - 3)}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.20

간단히 합니다.

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단계 4.20.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' (8 u') + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.20.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.20.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.20.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 \cdot 8 u' u' + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.20.2.1.2

지수를 더하여 $u'$ 에 $u'$ 을 곱합니다.

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단계 4.20.2.1.2.1

$u'$ 를 옮깁니다.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 \cdot 8 (u' u') + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.20.2.1.2.2

$u'$ 에 $u'$ 을 곱합니다.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 \cdot 8 {u'}^{2} + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.20.2.1.3

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{4 {u'}^{2} + 16 {u'}^{2} + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.20.2.1.4

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4 {u'}^{2} + 16 {u'}^{2} - 6 u'}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.20.2.2

$4 {u'}^{2}$ 를 $16 {u'}^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{20 {u'}^{2} - 6 u'}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.20.3

$20 {u'}^{2} - 6 u'$ 에서 $2 u'$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.20.3.1

$20 {u'}^{2}$ 에서 $2 u'$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 u' (10 u') - 6 u'}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.20.3.2

$- 6 u'$ 에서 $2 u'$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 u' (10 u') + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.20.3.3

$2 u' (10 u') + 2 u' \cdot - 3$ 에서 $2 u'$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 u' (10 u' - 3)}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$u' = \frac{2 u' (10 u' - 3)}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 6

방정식의 각 변을 그립니다. 해는 교점의 x값입니다.

해 없음

단계 7

$u'$ 에 $\frac{d u}{d v}$ 를 대입합니다.

$\frac{d u}{d v}$