미적분 예제

$y = 5 x^{2} e^{3 x}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 x^{2} e^{3 x})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{2} e^{3 x}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x}]$

단계 3.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = e^{3 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.3.3

$u$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$5 (x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.4

미분합니다.

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단계 3.4.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 (x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.3.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 (x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.4.3.2

$e^{3 x}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$5 (x^{2} (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.4.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x))$

단계 3.5

간단히 합니다.

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단계 3.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$5 (x^{2} (3 e^{3 x})) + 5 (e^{3 x} (2 x))$

단계 3.5.2

항을 묶습니다.

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단계 3.5.2.1

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$15 (x^{2} (e^{3 x})) + 5 (e^{3 x} (2 x))$

단계 3.5.2.2

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$15 x^{2} e^{3 x} + 10 e^{3 x} x$

단계 3.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$15 e^{3 x} x^{2} + 10 e^{3 x} x$

단계 3.5.4

$15 e^{3 x} x^{2} + 10 e^{3 x} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$15 x^{2} e^{3 x} + 10 x e^{3 x}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 15 x^{2} e^{3 x} + 10 x e^{3 x}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = 15 x^{2} e^{3 x} + 10 x e^{3 x}$