미적분 예제

$4 x y + \ln (x^{2} y) = 7$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (4 x y + \ln (x^{2} y)) = \frac{d}{d x} (7)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $4 x y + \ln (x^{2} y)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x y$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x y]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

단계 2.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

단계 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

단계 2.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

단계 2.2.5

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{2} y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} y$ 로 바꿉니다.

$4 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

단계 2.3.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$4 (x y' + y) + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

단계 2.3.1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} y$ 로 바꿉니다.

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

단계 2.3.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 2.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + y (2 x))$

단계 2.3.5

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + 2 y x)$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (x y') + 4 y + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + 2 y x)$

단계 2.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (x y') + 4 y + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y') + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

단계 2.4.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.3.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{x^{2} y}$ 을 묶습니다.

$4 x y' + 4 y + \frac{x^{2}}{x^{2} y} y' + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

단계 2.4.3.2

$\frac{x^{2}}{x^{2} y}$ 와 $y'$ 을 묶습니다.

$4 x y' + 4 y + \frac{x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

단계 2.4.3.3

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$4 x y' + 4 y + \frac{x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

단계 2.4.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

단계 2.4.3.4

$2$ 와 $\frac{1}{x^{2} y}$ 을 묶습니다.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x^{2} y} (y x)$

단계 2.4.3.5

$y$ 와 $\frac{2}{x^{2} y}$ 을 묶습니다.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{y \cdot 2}{x^{2} y} x$

단계 2.4.3.6

$\frac{y \cdot 2}{x^{2} y}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{y \cdot 2 x}{x^{2} y}$

단계 2.4.3.7

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2 \cdot y x}{x^{2} y}$

단계 2.4.3.8

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.3.8.1

공약수로 약분합니다.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2 y x}{x^{2} y}$

단계 2.4.3.8.2

수식을 다시 씁니다.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2 x}{x^{2}}$

단계 2.4.3.9

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.3.9.1

$2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

단계 2.4.3.9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.3.9.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

단계 2.4.3.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

단계 2.4.3.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x}$

단계 3

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x} = 0$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$1, 1, y, x, 1$

단계 5.1.2

$1, 1, y, x, 1$ 이 숫자와 변수를 모두 포함하므로 두 단계에 걸쳐 최소공배수를 구합니다. 숫자 부분인 $1, 1, 1, 1, 1$ 의 최소공배수를 구한 뒤 변수 부분 $y^{1}, x^{1}$ 의 최소공배수를 구합니다.

단계 5.1.3

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 5.1.4

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 5.1.5

$1, 1, 1, 1, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$1$

단계 5.1.6

$y^{1}$ 의 인수는 $y$ 자신입니다.

$y^{1} = y$

$y$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 5.1.7

$x^{1}$ 의 인수는 $x$ 자신입니다.

$x^{1} = x$

$x$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 5.1.8

$y^{1}, x^{1}$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 소인수의 최대 개수 만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$y x$

단계 5.2

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x} = 0$ 의 각 항에 $y x$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x} = 0$ 의 각 항에 $y x$ 을 곱합니다.

$4 x y' (y x) + 4 y (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

단계 5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$4 (x \cdot x) y' y + 4 y (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

단계 5.2.2.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$4 x^{2} y' y + 4 y (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

단계 5.2.2.1.2

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.2.1

$y$ 를 옮깁니다.

$4 x^{2} y' y + 4 (y \cdot y) x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

단계 5.2.2.1.2.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

단계 5.2.2.1.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.3.1

$y x$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + \frac{y'}{y} (y (x)) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

단계 5.2.2.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

단계 5.2.2.1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

단계 5.2.2.1.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.4.1

$y x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + \frac{2}{x} (x y) = 0 (y x)$

단계 5.2.2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + \frac{2}{x} (x y) = 0 (y x)$

단계 5.2.2.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + 2 y = 0 (y x)$

단계 5.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$0 (y x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.1

$y$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + 2 y = 0 x$

단계 5.2.3.1.2

$0$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + 2 y = 0$

단계 5.3

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1

방정식의 양변에서 $4 y^{2} x$ 를 뺍니다.

$4 x^{2} y' y + y' x + 2 y = - 4 y^{2} x$

단계 5.3.1.2

방정식의 양변에서 $2 y$ 를 뺍니다.

$4 x^{2} y' y + y' x = - 4 y^{2} x - 2 y$

단계 5.3.2

$4 x^{2} y' y + y' x$ 에서 $x y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$4 x^{2} y' y$ 에서 $x y'$ 를 인수분해합니다.

$x y' (4 x y) + y' x = - 4 y^{2} x - 2 y$

단계 5.3.2.2

$y' x$ 에서 $x y'$ 를 인수분해합니다.

$x y' (4 x y) + x y' \cdot 1 = - 4 y^{2} x - 2 y$

단계 5.3.2.3

$x y' (4 x y) + x y' \cdot 1$ 에서 $x y'$ 를 인수분해합니다.

$x y' (4 x y + 1) = - 4 y^{2} x - 2 y$

단계 5.3.3

$x y' (4 x y + 1) = - 4 y^{2} x - 2 y$ 의 각 항을 $x (4 x y + 1)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$x y' (4 x y + 1) = - 4 y^{2} x - 2 y$ 의 각 항을 $x (4 x y + 1)$ 로 나눕니다.

$\frac{x y' (4 x y + 1)}{x (4 x y + 1)} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

단계 5.3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y' (4 x y + 1)}{x (4 x y + 1)} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

단계 5.3.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (4 x y + 1)}{4 x y + 1} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

단계 5.3.3.2.2

$4 x y + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (4 x y + 1)}{4 x y + 1} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

단계 5.3.3.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

단계 5.3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.3.1.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

단계 5.3.3.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{- 4 y^{2}}{4 x y + 1} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

단계 5.3.3.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

단계 5.3.3.3.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

단계 5.3.3.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

단계 5.3.3.3.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(4 x y + 1) x$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.3.3.1

$\frac{4 y^{2}}{4 x y + 1}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{4 y^{2} x}{(4 x y + 1) x} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

단계 5.3.3.3.3.2

$(4 x y + 1) x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = - \frac{4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

단계 5.3.3.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{- 4 y^{2} x - 2 y}{x (4 x y + 1)}$

단계 5.3.3.3.5

$- 4 y^{2} x - 2 y$ 에서 $2 y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.3.5.1

$- 4 y^{2} x$ 에서 $2 y$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 y (- 2 y x) - 2 y}{x (4 x y + 1)}$

단계 5.3.3.3.5.2

$- 2 y$ 에서 $2 y$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 y (- 2 y x) + 2 y (- 1)}{x (4 x y + 1)}$

단계 5.3.3.3.5.3

$2 y (- 2 y x) + 2 y (- 1)$ 에서 $2 y$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 y (- 2 y x - 1)}{x (4 x y + 1)}$

단계 5.3.3.3.6

$- 2 y x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 y (- (2 y x) - 1)}{x (4 x y + 1)}$

단계 5.3.3.3.7

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{2 y (- (2 y x) - 1 (1))}{x (4 x y + 1)}$

단계 5.3.3.3.8

$- (2 y x) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 y (- (2 y x + 1))}{x (4 x y + 1)}$

단계 5.3.3.3.9

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.3.9.1

$- (2 y x + 1)$ 을 $- 1 (2 y x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{2 y (- 1 (2 y x + 1))}{x (4 x y + 1)}$

단계 5.3.3.3.9.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{(2 y) (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$

단계 5.3.3.3.9.3

$- \frac{(2 y) (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = - \frac{2 y (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$