미적분 예제

$y = e^{7 \sqrt{x}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = e^{7 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{7 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 3

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 4.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 7 x^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $7 x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.1.3

$u$ 를 모두 $7 x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$e^{7 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.2

미분합니다.

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단계 4.2.1

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$e^{7 x^{\frac{1}{2}}} (7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{7 x^{\frac{1}{2}}} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

단계 4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$e^{7 x^{\frac{1}{2}}} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

단계 4.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{7 x^{\frac{1}{2}}} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

단계 4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e^{7 x^{\frac{1}{2}}} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

단계 4.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e^{7 x^{\frac{1}{2}}} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

단계 4.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$e^{7 x^{\frac{1}{2}}} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

단계 4.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{7 x^{\frac{1}{2}}} (7 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

단계 4.8

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$e^{7 x^{\frac{1}{2}}} (7 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

단계 4.9

$7$ 와 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{7 x^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 4.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$e^{7 x^{\frac{1}{2}}} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.11

$e^{7 x^{\frac{1}{2}}}$ 와 $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{7 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.12

$e^{7 x^{\frac{1}{2}}}$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$\frac{7 e^{7 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{7 e^{7 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 e^{7 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$