미적분 예제

$\sin (x) = x (1 + \tan (y))$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (\sin (x)) = \frac{d}{d x} (x (1 + \tan (y)))$

단계 2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\cos (x)$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = x$ , $g (x) = 1 + \tan (y)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [1 + \tan (y)] + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $1 + \tan (y)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (y)]$ 가 됩니다.

$x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (y)]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$x (0 + \frac{d}{d x} [\tan (y)]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [\tan (y)]$ 에 더합니다.

$x \frac{d}{d x} [\tan (y)] + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3

$f (x) = \tan (x)$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [y]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3.2

$\tan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u)$ 입니다.

$x (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$x (\sec^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$x \sec^{2} (y) y' + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \sec^{2} (y) y' + (1 + \tan (y)) \cdot 1$

단계 3.6

$1 + \tan (y)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y)$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$\cos (x) = x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y)$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

$x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y) = \cos (x)$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y) = \cos (x)$

단계 5.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x y' \sec^{2} (y) + 1 + \tan (y) = \cos (x)$

단계 5.3

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x y' \sec^{2} (y) + \tan (y) = \cos (x) - 1$

단계 5.3.2

방정식의 양변에서 $\tan (y)$ 를 뺍니다.

$x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$

단계 5.3.3

$\tan (y)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$

단계 5.3.4

$\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ 을 $\tan (y)$ 로 변환합니다.

$x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$

단계 5.4

$x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$ 의 각 항을 $x \sec^{2} (y)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

$x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$ 의 각 항을 $x \sec^{2} (y)$ 로 나눕니다.

$\frac{x y' \sec^{2} (y)}{x \sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.4.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y' \sec^{2} (y)}{x \sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

단계 5.4.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' \sec^{2} (y)}{\sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

단계 5.4.2.2

$\sec^{2} (y)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' \sec^{2} (y)}{\sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

단계 5.4.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

단계 5.4.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.4.3.1.1

$\sec^{2} (y)$ 에서 $\sec (y)$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{\cos (x)}{x (\sec (y) \sec (y))} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

단계 5.4.3.1.2

분수를 나눕니다.

$y' = \frac{1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\cos (x)}{\sec (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

단계 5.4.3.1.3

$\sec (y)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$y' = \frac{1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (y)}} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

단계 5.4.3.1.4

$\frac{1}{\cos (y)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$y' = \frac{1}{x (\sec (y))} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

단계 5.4.3.1.5

분수를 나눕니다.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\sec (y)} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

단계 5.4.3.1.6

$\sec (y)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

단계 5.4.3.1.7

$\frac{1}{\cos (y)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$y' = \frac{1}{x} (1 \cos (y)) (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

단계 5.4.3.1.8

$\cos (y)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{1}{x} \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

단계 5.4.3.1.9

$\frac{1}{x}$ 와 $\cos (y)$ 을 묶습니다.

$y' = \frac{\cos (y)}{x} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

단계 5.4.3.1.10

$\frac{\cos (y)}{x} (\cos (x) \cos (y))$ 을 곱합니다.

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단계 5.4.3.1.10.1

$\cos (x)$ 와 $\frac{\cos (y)}{x}$ 을 묶습니다.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{x} \cos (y) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

단계 5.4.3.1.10.2

$\frac{\cos (x) \cos (y)}{x}$ 와 $\cos (y)$ 을 묶습니다.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \cos (y)}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

단계 5.4.3.1.10.3

$\cos (y)$ 를 $1$ 승 합니다.

$y' = \frac{\cos (x) (\cos^{1} (y) \cos (y))}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

단계 5.4.3.1.10.4

$\cos (y)$ 를 $1$ 승 합니다.

$y' = \frac{\cos (x) (\cos^{1} (y) \cos^{1} (y))}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

단계 5.4.3.1.10.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y' = \frac{\cos (x) {\cos (y)}^{1 + 1}}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

단계 5.4.3.1.10.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

단계 5.4.3.1.11

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.11.1

$\sec (y)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x {(\frac{1}{\cos (y)})}^{2}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

단계 5.4.3.1.11.2

$\frac{1}{\cos (y)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

단계 5.4.3.1.11.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x \frac{1}{\cos^{2} (y)}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

단계 5.4.3.1.12

$x$ 와 $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ 을 묶습니다.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{\frac{x}{\cos^{2} (y)}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

단계 5.4.3.1.13

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

단계 5.4.3.1.14

$\sec^{2} (y)$ 에서 $\sec (y)$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- \tan (y)}{x (\sec (y) \sec (y))}$

단계 5.4.3.1.15

분수를 나눕니다.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\tan (y)}{\sec (y)}$

단계 5.4.3.1.16

$\sec (y)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\tan (y)}{\frac{1}{\cos (y)}}$

단계 5.4.3.1.17

$\tan (y)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{\frac{1}{\cos (y)}}$

단계 5.4.3.1.18

$\frac{1}{\cos (y)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} (\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cos (y))$

단계 5.4.3.1.19

$\cos (y)$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} (\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{1})$

단계 5.4.3.1.20

$\cos (y)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.20.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} (\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{1})$

단계 5.4.3.1.20.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \sin (y)$

단계 5.4.3.1.21

분수를 나눕니다.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} \cdot \frac{1}{\sec (y)} \sin (y)$

단계 5.4.3.1.22

$\sec (y)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} \sin (y)$

단계 5.4.3.1.23

$\frac{1}{\cos (y)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} (1 \cos (y)) \sin (y)$

단계 5.4.3.1.24

$\cos (y)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} \cos (y) \sin (y)$

단계 5.4.3.1.25

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{1}{x} \cos (y) \sin (y)$

단계 5.4.3.1.26

$\cos (y)$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos (y)}{x} \sin (y)$

단계 5.4.3.1.27

$\sin (y)$ 와 $\frac{\cos (y)}{x}$ 을 묶습니다.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{\sin (y) \cos (y)}{x}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{\sin (y) \cos (y)}{x}$