미적분 예제

$\cos (2 x) + \sin (x) = 1$ , $[0, 2 π)$

단계 1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$\cos (2 x) + \sin (x) - 1 = 0$

단계 2

식의 좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

배각 공식을 사용하여 $\cos (2 x)$ 를 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 로 바꿉니다.

$1 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 1 = 0$

단계 2.2

$1 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$0 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

단계 2.2.2

$0$ 에서 $2 \sin^{2} (x)$ 을 뺍니다.

$- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

단계 3

$- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- 2 \sin^{2} (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) = 0$

단계 3.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) = 0$

단계 3.3

$\sin^{1} (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 = 0$

단계 3.4

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) = 0$

단계 4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$\sin (x) = 0$

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

단계 5

$\sin (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\sin (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\sin (x) = 0$

단계 5.2

$\sin (x) = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (0)$

단계 5.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$\arcsin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 5.2.3

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = π - 0$

단계 5.2.4

$π$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$x = π$

단계 5.2.5

$\sin (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 5.2.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 5.2.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 5.2.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 5.2.6

함수 $\sin (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 2 π n, π + 2 π n$

단계 6

$- 2 \sin (x) + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$- 2 \sin (x) + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

단계 6.2

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- 2 \sin (x) = - 1$

단계 6.2.2

$- 2 \sin (x) = - 1$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$- 2 \sin (x) = - 1$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

단계 6.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1

$- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

단계 6.2.2.2.1.2

$\sin (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

단계 6.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

단계 6.2.3

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

단계 6.2.4

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.4.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{6}$ 입니다.

$x = \frac{π}{6}$

단계 6.2.5

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = π - \frac{π}{6}$

단계 6.2.6

$π - \frac{π}{6}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.6.1

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

단계 6.2.6.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.6.2.1

$π$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

단계 6.2.6.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

단계 6.2.6.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.6.3.1

$π$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

단계 6.2.6.3.2

$6 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{5 π}{6}$

단계 6.2.7

$\sin (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.7.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 6.2.7.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 6.2.7.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 6.2.7.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 6.2.8

함수 $\sin (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$

단계 7

$\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$

단계 8

$2 π n$ , $π + 2 π n$ 를 $π n$ 에 통합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$

단계 9

구간 $[0, 2 π)$ 에 속하는 값을 생성하는 $n$ 값들을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$n$ 에 $0$ 를 대입하고 식을 간단히 하여 해가 $[0, 2 π)$ 에 포함되는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$n$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$π (0)$

단계 9.1.2

$π$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$

단계 9.1.3

구간 $[0, 2 π)$ 은 $0$ 을 포함합니다.

$x = 0$

단계 9.2

$n$ 에 $0$ 를 대입하고 식을 간단히 하여 해가 $[0, 2 π)$ 에 포함되는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$n$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$\frac{π}{6} + 2 π (0)$

단계 9.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.1

$2 π (0)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.1.1

$0$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{π}{6} + 0 π$

단계 9.2.2.1.2

$0$ 에 $π$ 을 곱합니다.

$\frac{π}{6} + 0$

단계 9.2.2.2

$\frac{π}{6}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{π}{6}$

단계 9.2.3

구간 $[0, 2 π)$ 은 $\frac{π}{6}$ 을 포함합니다.

$x = 0, \frac{π}{6}$

단계 9.3

$n$ 에 $0$ 를 대입하고 식을 간단히 하여 해가 $[0, 2 π)$ 에 포함되는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$n$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$\frac{5 π}{6} + 2 π (0)$

단계 9.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.2.1

$2 π (0)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.2.1.1

$0$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{5 π}{6} + 0 π$

단계 9.3.2.1.2

$0$ 에 $π$ 을 곱합니다.

$\frac{5 π}{6} + 0$

단계 9.3.2.2

$\frac{5 π}{6}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{5 π}{6}$

단계 9.3.3

구간 $[0, 2 π)$ 은 $\frac{5 π}{6}$ 을 포함합니다.

$x = 0, \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

단계 9.4

$n$ 에 $1$ 를 대입하고 식을 간단히 하여 해가 $[0, 2 π)$ 에 포함되는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.1

$n$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$π (1)$

단계 9.4.2

$π$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$π$

단계 9.4.3

구간 $[0, 2 π)$ 은 $π$ 을 포함합니다.

$x = 0, \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, π$