미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{2}}{x + 1}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.2

$x + 1$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x + 1) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.3

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.6.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.6.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.3

간단히 합니다.

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단계 1.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot 1) x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (1 x) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.3.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.3.3.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.3.3.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (1 x) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.3.3.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (1 x) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.3.3.1.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.3.3.2

$2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.3.4

$x^{2} + 2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1.3.4.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{x \cdot x + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.3.4.2

$2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.3.4.3

$x \cdot x + x \cdot 2$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$ 입니다.

$\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$x (x + 2) = 0$

단계 2.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x + 2 = 0$

단계 2.3.2

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 2.3.3

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.3.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 2.3.3.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 2.3.4

$x (x + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 2$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x + 1)}^{2} = 0$

단계 3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.2.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 3.2.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $\frac{x^{2}}{x + 1}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$x = 0$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.1.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$\frac{{(0)}^{2}}{(0) + 1}$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

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단계 4.1.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{0}{0 + 1}$

단계 4.1.2.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{0}{1}$

단계 4.1.2.3

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$0$

단계 4.2

$x = - 2$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.2.1

$x$ 에 $- 2$ 를 대입합니다.

$\frac{{(- 2)}^{2}}{(- 2) + 1}$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{4}{- 2 + 1}$

단계 4.2.2.2

$- 2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{4}{- 1}$

단계 4.2.2.3

$4$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$- 4$

단계 4.3

$x = - 1$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.3.1

$x$ 에 $- 1$ 를 대입합니다.

$\frac{{(- 1)}^{2}}{(- 1) + 1}$

단계 4.3.2

간단히 합니다.

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단계 4.3.2.1

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{{(- 1)}^{2}}{0}$

단계 4.3.2.2

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 4.4

모든 점을 나열합니다.

$(0, 0), (- 2, - 4)$

단계 5