미적분 예제

$y = 3 x^{2} + 4 x$

단계 1

$y$ 를 $x$ 의 함수로 둡니다 .

$f (x) = 3 x^{2} + 4 x$

단계 2

도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} + 4 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x]$

단계 2.2.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x + 4 \cdot 1$

단계 2.3.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 x + 4$

단계 3

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $6 x + 4 = 0$ 을 풉니다.

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단계 3.1

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$6 x = - 4$

단계 3.2

$6 x = - 4$ 의 각 항을 $6$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$6 x = - 4$ 의 각 항을 $6$ 로 나눕니다.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

단계 3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.2.2.1

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

단계 3.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 4}{6}$

단계 3.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.2.3.1

$- 4$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.3.1.1

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{2 (- 2)}{6}$

단계 3.2.3.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.3.1.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

단계 3.2.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

단계 3.2.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x = \frac{- 2}{3}$

단계 3.2.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{2}{3}$

단계 4

원래 함수 $f (x) = 3 x^{2} + 4 x$ 을 $x = - \frac{2}{3}$ 에서 풉니다.

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- \frac{2}{3}$ 을 대입합니다.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 4 (- \frac{2}{3})$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

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단계 4.2.1.1.1

$- \frac{2}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) + 4 (- \frac{2}{3})$

단계 4.2.1.1.2

$\frac{2}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 4 (- \frac{2}{3})$

단계 4.2.1.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (1 (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 4 (- \frac{2}{3})$

단계 4.2.1.3

$\frac{2^{2}}{3^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) + 4 (- \frac{2}{3})$

단계 4.2.1.4

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3^{2}}) + 4 (- \frac{2}{3})$

단계 4.2.1.5

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{9}) + 4 (- \frac{2}{3})$

단계 4.2.1.6

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1.6.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3 (3)}) + 4 (- \frac{2}{3})$

단계 4.2.1.6.2

공약수로 약분합니다.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3 \cdot 3}) + 4 (- \frac{2}{3})$

단계 4.2.1.6.3

수식을 다시 씁니다.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + 4 (- \frac{2}{3})$

단계 4.2.1.7

$4 (- \frac{2}{3})$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.1.7.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - 4 (\frac{2}{3})$

단계 4.2.1.7.2

$- 4$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 2}{3}$

단계 4.2.1.7.3

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{- 8}{3}$

단계 4.2.1.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - \frac{8}{3}$

단계 4.2.2

분수를 통분합니다.

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단계 4.2.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4 - 8}{3}$

단계 4.2.2.2

식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.2.1

$4$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 4}{3}$

단계 4.2.2.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{4}{3}$

단계 4.2.3

최종 답은 $- \frac{4}{3}$ 입니다.

$- \frac{4}{3}$

단계 5

함수 $f (x) = 3 x^{2} + 4 x$ 의 수평 접선은 $y = - \frac{4}{3}$ 입니다.

$y = - \frac{4}{3}$

단계 6