미적분 예제

$y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$

단계 1

$y$ 를 $x$ 의 함수로 둡니다 .

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$

단계 2

도함수를 구합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$- 12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 12 x$ 의 미분은 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 x^{2} + 6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x^{2} + 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.4.3

$- 12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} + 6 x - 12 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.5.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$6 x^{2} + 6 x - 12 + 0$

단계 2.5.2

$6 x^{2} + 6 x - 12$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6 x^{2} + 6 x - 12$

단계 3

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$ 을 풉니다.

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단계 3.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 3.1.1

$6 x^{2} + 6 x - 12$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.1.1.1

$6 x^{2}$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2}) + 6 x - 12 = 0$

단계 3.1.1.2

$6 x$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 12 = 0$

단계 3.1.1.3

$- 12$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 2 = 0$

단계 3.1.1.4

$6 (x^{2}) + 6 x$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2 = 0$

단계 3.1.1.5

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2} + x - 2) = 0$

단계 3.1.2

인수분해합니다.

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단계 3.1.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + x - 2$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 2$ 이고 합은 $1$ 입니다.

$- 1, 2$

단계 3.1.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$6 ((x - 1) (x + 2)) = 0$

단계 3.1.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$6 (x - 1) (x + 2) = 0$

단계 3.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

단계 3.3

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.3.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 3.3.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 3.4

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.4.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 3.4.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 3.5

$6 (x - 1) (x + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 2$

단계 4

원래 함수 $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$ 을 $x = 1$ 에서 풉니다.

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = 2 {(1)}^{3} + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 1$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = 2 \cdot 1 + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 1$

단계 4.2.1.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 2 + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 1$

단계 4.2.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = 2 + 3 \cdot 1 - 12 \cdot 1 + 1$

단계 4.2.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 2 + 3 - 12 \cdot 1 + 1$

단계 4.2.1.5

$- 12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 2 + 3 - 12 + 1$

단계 4.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f (1) = 5 - 12 + 1$

단계 4.2.2.2

$5$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$f (1) = - 7 + 1$

단계 4.2.2.3

$- 7$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (1) = - 6$

단계 4.2.3

최종 답은 $- 6$ 입니다.

$- 6$

단계 5

원래 함수 $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$ 을 $x = - 2$ 에서 풉니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 + 1$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- 2) = 2 \cdot - 8 + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 + 1$

단계 5.2.1.2

$2$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f (- 2) = - 16 + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 + 1$

단계 5.2.1.3

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 2) = - 16 + 3 \cdot 4 - 12 \cdot - 2 + 1$

단계 5.2.1.4

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (- 2) = - 16 + 12 - 12 \cdot - 2 + 1$

단계 5.2.1.5

$- 12$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f (- 2) = - 16 + 12 + 24 + 1$

단계 5.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 5.2.2.1

$- 16$ 를 $12$ 에 더합니다.

$f (- 2) = - 4 + 24 + 1$

단계 5.2.2.2

$- 4$ 를 $24$ 에 더합니다.

$f (- 2) = 20 + 1$

단계 5.2.2.3

$20$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (- 2) = 21$

단계 5.2.3

최종 답은 $21$ 입니다.

$21$

단계 6

함수 $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$ 의 수평 접선은 $y = - 6, y = 21$ 입니다.

$y = - 6, y = 21$

단계 7