미적분 예제

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 10$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

미분합니다.

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단계 1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} - 4 x^{3} + 10$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [10]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [10]$

단계 1.1.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [10]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x^{3}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [10]$

단계 1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [10]$

단계 1.1.2.3

$3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [10]$

단계 1.1.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.3.1

$10$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $10$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $10$ 입니다.

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 0$

단계 1.1.3.2

$4 x^{3} - 12 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $4 x^{3} - 12 x^{2}$ 입니다.

$4 x^{3} - 12 x^{2}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

단계 2.2

$4 x^{3} - 12 x^{2}$ 에서 $4 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$4 x^{3}$ 에서 $4 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$4 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

단계 2.2.2

$- 12 x^{2}$ 에서 $4 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3) = 0$

단계 2.2.3

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3)$ 에서 $4 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$4 x^{2} (x - 3) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

단계 2.4

$x^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.4.1

$x^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} = 0$

단계 2.4.2

$x^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.4.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.4.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 2.4.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 2.4.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 2.5

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.5.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 2.6

$4 x^{2} (x - 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 3$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $0, 3$ 입니다.

$0, 3$

단계 4

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

단계 5

$(- \infty, 0)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} - 12 {(- 1)}^{2}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1 - 12 {(- 1)}^{2}$

단계 5.2.1.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (- 1) = - 4 - 12 {(- 1)}^{2}$

단계 5.2.1.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 1) = - 4 - 12 \cdot 1$

단계 5.2.1.4

$- 12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (- 1) = - 4 - 12$

단계 5.2.2

$- 4$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$f' (- 1) = - 16$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 16$ 입니다.

$- 16$

단계 5.3

$x = - 1$ 에서의 도함수는 $- 16$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 감소함

단계 6

$(0, 3)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{3}{2}$ 을 대입합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 {(\frac{3}{2})}^{3} - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

$\frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

단계 6.2.1.2

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{2^{3}}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

단계 6.2.1.3

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{8}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

단계 6.2.1.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1.4.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{4 (2)}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

단계 6.2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{4 \cdot 2}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

단계 6.2.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

단계 6.2.1.5

$\frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

단계 6.2.1.6

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 \frac{9}{2^{2}}$

단계 6.2.1.7

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 (\frac{9}{4})$

단계 6.2.1.8

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1.8.1

$- 12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 4 (- 3) (\frac{9}{4})$

단계 6.2.1.8.2

공약수로 약분합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 4 \cdot (- 3 (\frac{9}{4}))$

단계 6.2.1.8.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 3 \cdot 9$

단계 6.2.1.9

$- 3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 27$

단계 6.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 27$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 27 \cdot \frac{2}{2}$

단계 6.2.3

$- 27$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2}$

단계 6.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 27 \cdot 2}{2}$

단계 6.2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.2.5.1

$- 27$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 54}{2}$

단계 6.2.5.2

$27$ 에서 $54$ 을 뺍니다.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 27}{2}$

단계 6.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{27}{2}$

단계 6.2.7

최종 답은 $- \frac{27}{2}$ 입니다.

$- \frac{27}{2}$

단계 6.3

$x = \frac{3}{2}$ 에서의 도함수는 $- \frac{27}{2}$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(0, 3)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(0, 3)$ 에서 감소함

단계 7

$(3, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 12 {(4)}^{2}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1.1

지수를 더하여 $4$ 에 ${(4)}^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 7.2.1.1.1

$4$ 에 ${(4)}^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 7.2.1.1.1.1

$4$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 12 {(4)}^{2}$

단계 7.2.1.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (4) = 4^{1 + 3} - 12 {(4)}^{2}$

단계 7.2.1.1.2

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f' (4) = 4^{4} - 12 {(4)}^{2}$

단계 7.2.1.2

$4$ 를 $4$ 승 합니다.

$f' (4) = 256 - 12 {(4)}^{2}$

단계 7.2.1.3

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (4) = 256 - 12 \cdot 16$

단계 7.2.1.4

$- 12$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f' (4) = 256 - 192$

단계 7.2.2

$256$ 에서 $192$ 을 뺍니다.

$f' (4) = 64$

단계 7.2.3

최종 답은 $64$ 입니다.

$64$

단계 7.3

$x = 4$ 에서의 도함수는 $64$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(3, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(3, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(3, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(- \infty, 0), (0, 3)$

단계 9