미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{4} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{4} x^{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

단계 1.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

단계 1.1.2.3

$4$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

단계 1.1.2.4

$\frac{4}{4}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

단계 1.1.2.5

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

단계 1.1.2.5.2

$x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (x) = x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x^{2}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2}$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x^{3} - 2 (2 x)$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x^{3} - 4 x$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $x^{3} - 4 x$ 입니다.

$x^{3} - 4 x$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $x^{3} - 4 x = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$x^{3} - 4 x = 0$

단계 2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 2.2.1

$x^{3} - 4 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.1.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{2} - 4 x = 0$

단계 2.2.1.2

$- 4 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 = 0$

단계 2.2.1.3

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x^{2} - 4) = 0$

단계 2.2.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

단계 2.2.3

인수분해합니다.

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단계 2.2.3.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

단계 2.2.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x (x + 2) (x - 2) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

단계 2.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 2.5

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.5.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 2.6

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.6.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 2.6.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 2.7

$x (x + 2) (x - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 2, 2$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $0, - 2, 2$ 입니다.

$0, - 2, 2$

단계 4

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

단계 5

$(- \infty, - 2)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 3$ 을 대입합니다.

$f' (- 3) = {(- 3)}^{3} - 4 \cdot - 3$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

$- 3$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (- 3) = - 27 - 4 \cdot - 3$

단계 5.2.1.2

$- 4$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f' (- 3) = - 27 + 12$

단계 5.2.2

$- 27$ 를 $12$ 에 더합니다.

$f' (- 3) = - 15$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 15$ 입니다.

$- 15$

단계 5.3

$x = - 3$ 에서의 도함수는 $- 15$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, - 2)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, - 2)$ 에서 감소함

단계 6

$(- 2, 0)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{3} - 4 \cdot - 1$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (- 1) = - 1 - 4 \cdot - 1$

단계 6.2.1.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (- 1) = - 1 + 4$

단계 6.2.2

$- 1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f' (- 1) = 3$

단계 6.2.3

최종 답은 $3$ 입니다.

$3$

단계 6.3

$x = - 1$ 에서의 도함수는 $3$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- 2, 0)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- 2, 0)$ 에서 증가함

단계 7

$(0, 2)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f' (1) = {(1)}^{3} - 4 \cdot 1$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (1) = 1 - 4 \cdot 1$

단계 7.2.1.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (1) = 1 - 4$

단계 7.2.2

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f' (1) = - 3$

단계 7.2.3

최종 답은 $- 3$ 입니다.

$- 3$

단계 7.3

$x = 1$ 에서의 도함수는 $- 3$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(0, 2)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(0, 2)$ 에서 감소함

단계 8

$(2, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$f' (3) = {(3)}^{3} - 4 \cdot 3$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.2.1.1

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (3) = 27 - 4 \cdot 3$

단계 8.2.1.2

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (3) = 27 - 12$

단계 8.2.2

$27$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$f' (3) = 15$

단계 8.2.3

최종 답은 $15$ 입니다.

$15$

단계 8.3

$x = 3$ 에서의 도함수는 $15$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(2, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(2, \infty)$ 에서 증가함

단계 9

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- 2, 0), (2, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(- \infty, - 2), (0, 2)$

단계 10