미적분 예제

$f (x) = 4 x^{3} - 12 x$

단계 1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} - 12 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

단계 1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

단계 1.1.2.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$- 12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 12 x$ 의 미분은 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{2} - 12 \cdot 1$

단계 1.1.3.3

$- 12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{2} - 12$

단계 1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $12 x^{2} - 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$

단계 1.2.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x^{2}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$

단계 1.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12]$

단계 1.2.2.3

$2$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$24 x + \frac{d}{d x} [- 12]$

단계 1.2.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$- 12$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 12$ 입니다.

$24 x + 0$

단계 1.2.3.2

$24 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 24 x$

단계 1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $24 x$ 입니다.

$24 x$

단계 2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $24 x = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$24 x = 0$

단계 2.2

$24 x = 0$ 의 각 항을 $24$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$24 x = 0$ 의 각 항을 $24$ 로 나눕니다.

$\frac{24 x}{24} = \frac{0}{24}$

단계 2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$24$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{24 x}{24} = \frac{0}{24}$

단계 2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{24}$

단계 2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$0$ 을 $24$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 3

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = 4 x^{3} - 12 x$ 에 $0$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = 4 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0$

단계 3.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 4 \cdot 0 - 12 \cdot 0$

단계 3.1.2.1.2

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 - 12 \cdot 0$

단계 3.1.2.1.3

$- 12$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0$

단계 3.1.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0$

단계 3.1.2.3

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 3.2

$f (x) = 4 x^{3} - 12 x$ 에 $0$ 을 대입하여 구한 점은 $(0, 0)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(0, 0)$

단계 4

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

단계 5

$(- \infty, 0)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 0.1$ 을 대입합니다.

$f'' (- 0.1) = 24 (- 0.1)$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$24$ 에 $- 0.1$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.1) = - 2.4$

단계 5.2.2

최종 답은 $- 2.4$ 입니다.

$- 2.4$

단계 5.3

$- 0.1$ 에서의 2차 미분값은 $- 2.4$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 감소함

단계 6

$(0, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.1$ 을 대입합니다.

$f'' (0.1) = 24 (0.1)$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$24$ 에 $0.1$ 을 곱합니다.

$f'' (0.1) = 2.4$

단계 6.2.2

최종 답은 $2.4$ 입니다.

$2.4$

단계 6.3

$0.1$ 에서의 이계도함수는 $2.4$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(0, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(0, \infty)$ 에서 증가함

단계 7

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(0, 0)$ 입니다.

$(0, 0)$

단계 8