미적분 예제

$y = x - \sin (x)$

단계 1

$y = x - \sin (x)$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = x - \sin (x)$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1.1

미분합니다.

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단계 2.1.1.1

합의 법칙에 의해 $x - \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

단계 2.1.1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

단계 2.1.2

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \sin (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 2.1.2.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$f' (x) = 1 - \cos (x)$

단계 2.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.2.1

미분합니다.

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단계 2.2.1.1

합의 법칙에 의해 $1 - \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

단계 2.2.1.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

단계 2.2.2

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \cos (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 2.2.2.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$0 - - \sin (x)$

단계 2.2.2.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 + 1 \sin (x)$

단계 2.2.2.4

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + \sin (x)$

단계 2.2.3

$0$ 를 $\sin (x)$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \sin (x)$

단계 2.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $\sin (x)$ 입니다.

$\sin (x)$

단계 3

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $\sin (x) = 0$ 을 풉니다.

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단계 3.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$\sin (x) = 0$

단계 3.2

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (0)$

단계 3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$\arcsin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 3.4

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = π - 0$

단계 3.5

$π$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$x = π$

단계 3.6

$\sin (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 3.6.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 3.6.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 3.6.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 3.6.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 3.7

함수 $\sin (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 2 π n, π + 2 π n$

단계 3.8

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = π n$

단계 4

$f (x) = x - \sin (x)$ 에 을 대입하여 구한 점은 $(,)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(,)$

단계 5

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

단계 6

$(- \infty,)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 0.1$ 을 대입합니다.

$f'' (- 0.1) = \sin (- 0.1)$

단계 6.2

최종 답은 $\sin (- 0.1)$ 입니다.

$\sin (- 0.1)$

단계 6.3

$- 0.1$ 에서의 2차 미분값은 $- 0.09983341$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(- \infty,)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty,)$ 에서 감소함

단계 7

$(, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.1$ 을 대입합니다.

$f'' (0.1) = \sin (0.1)$

단계 7.2

최종 답은 $\sin (0.1)$ 입니다.

$\sin (0.1)$

단계 7.3

$0.1$ 에서의 이계도함수는 $0.09983341$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(,)$ 입니다.

$(,)$

단계 9