미적분 예제

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1.1

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $g (x) = x + 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4) + (x + 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

단계 1.1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)) + (x + 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

단계 1.1.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} (4)) + (x + 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

단계 1.1.1.2.3

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

단계 1.1.1.2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.1.2.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

단계 1.1.1.2.4.2

$x^{\frac{1}{3}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

단계 1.1.1.2.5

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

단계 1.1.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

단계 1.1.1.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

단계 1.1.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

단계 1.1.1.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.1.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

단계 1.1.1.6.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

단계 1.1.1.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

단계 1.1.1.8

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

단계 1.1.1.9

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

단계 1.1.1.10

간단히 합니다.

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단계 1.1.1.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + x (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}) + 4 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

단계 1.1.1.10.2

항을 묶습니다.

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단계 1.1.1.10.2.1

$x$ 와 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

단계 1.1.1.10.2.2

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $x^{\frac{2}{3}}$ 를 분자로 이동합니다.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

단계 1.1.1.10.2.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.1.10.2.3.1

$x$ 에 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.1.10.2.3.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

단계 1.1.1.10.2.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} + 4 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

단계 1.1.1.10.2.3.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} + 4 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

단계 1.1.1.10.2.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} + 4 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

단계 1.1.1.10.2.3.4

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + 4 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

단계 1.1.1.10.2.4

$4$ 와 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 1.1.1.10.2.5

공통 분모를 가지는 분수로 $x^{\frac{1}{3}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 1.1.1.10.2.6

$x^{\frac{1}{3}}$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 1.1.1.10.2.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 1.1.1.10.2.8

$x^{\frac{1}{3}}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$f' (x) = \frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 1.1.1.10.2.9

$3 x^{\frac{1}{3}}$ 를 $x^{\frac{1}{3}}$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

단계 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.2.1

$\frac{4}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ 의 미분은 $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

단계 1.1.2.2.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

단계 1.1.2.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

단계 1.1.2.2.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

단계 1.1.2.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

단계 1.1.2.2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.2.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

단계 1.1.2.2.6.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

단계 1.1.2.2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

단계 1.1.2.2.8

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

단계 1.1.2.2.9

$\frac{4}{3}$ 에 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

단계 1.1.2.2.10

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

단계 1.1.2.2.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

단계 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.3.1

$\frac{4}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 의 미분은 $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

단계 1.1.2.3.2

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 을 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

단계 1.1.2.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{\frac{2}{3}}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

단계 1.1.2.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

단계 1.1.2.3.3.3

$u$ 를 모두 $x^{\frac{2}{3}}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

단계 1.1.2.3.4

$n = \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

단계 1.1.2.3.5

${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.1.2.3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

단계 1.1.2.3.5.2

$\frac{2}{3} \cdot - 2$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.2.3.5.2.1

$\frac{2}{3}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

단계 1.1.2.3.5.2.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

단계 1.1.2.3.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

단계 1.1.2.3.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

단계 1.1.2.3.7

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

단계 1.1.2.3.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

단계 1.1.2.3.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.3.9.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

단계 1.1.2.3.9.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

단계 1.1.2.3.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

단계 1.1.2.3.11

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{- \frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

단계 1.1.2.3.12

$\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 와 $x^{- \frac{4}{3}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

단계 1.1.2.3.13

지수를 더하여 $x^{- \frac{1}{3}}$ 에 $x^{- \frac{4}{3}}$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.2.3.13.1

$x^{- \frac{4}{3}}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

단계 1.1.2.3.13.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

단계 1.1.2.3.13.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

단계 1.1.2.3.13.4

$- 4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

단계 1.1.2.3.13.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

단계 1.1.2.3.14

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{5}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

단계 1.1.2.3.15

$\frac{4}{3}$ 에 $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4 \cdot 2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

단계 1.1.2.3.16

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

단계 1.1.2.3.17

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ 입니다.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

단계 1.2.2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

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단계 1.2.2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$

단계 1.2.2.2

Since $9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $9, 9, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{5}{3}}$ .

단계 1.2.2.3

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 1.2.2.4

$9$ 의 인수는 $3$ 와 $3$ 입니다.

$3 \cdot 3$

단계 1.2.2.5

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 1.2.2.6

$9, 9, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$3 \cdot 3$

단계 1.2.2.7

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$9$

단계 1.2.2.8

$x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{5}{3}}$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 소인수의 최대 개수 만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$x^{\frac{5}{3}}$

단계 1.2.2.9

$9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$ 의 최소공배수는 숫자 부분 $9$ 에 변수 부분을 곱한 값입니다.

$9 x^{\frac{5}{3}}$

단계 1.2.3

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ 의 각 항에 $9 x^{\frac{5}{3}}$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ 의 각 항에 $9 x^{\frac{5}{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

단계 1.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$9 \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

단계 1.2.3.2.1.2

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$9 \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

단계 1.2.3.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

단계 1.2.3.2.1.3

$x^{\frac{2}{3}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.3.1

$x^{\frac{5}{3}}$ 에서 $x^{\frac{2}{3}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

단계 1.2.3.2.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

단계 1.2.3.2.1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$4 x^{\frac{3}{3}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

단계 1.2.3.2.1.4

$3$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$4 x^{1} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

단계 1.2.3.2.1.5

간단히 합니다.

$4 x - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

단계 1.2.3.2.1.6

$9 x^{\frac{5}{3}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.6.1

$- \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$4 x + \frac{- 8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

단계 1.2.3.2.1.6.2

공약수로 약분합니다.

$4 x + \frac{- 8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

단계 1.2.3.2.1.6.3

수식을 다시 씁니다.

$4 x - 8 = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

단계 1.2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.1

$0 (9 x^{\frac{5}{3}})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.1.1

$9$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$4 x - 8 = 0 x^{\frac{5}{3}}$

단계 1.2.3.3.1.2

$0$ 에 $x^{\frac{5}{3}}$ 을 곱합니다.

$4 x - 8 = 0$

단계 1.2.4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

방정식의 양변에 $8$ 를 더합니다.

$4 x = 8$

단계 1.2.4.2

$4 x = 8$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

$4 x = 8$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{8}{4}$

단계 1.2.4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{8}{4}$

단계 1.2.4.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{8}{4}$

단계 1.2.4.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.3.1

$8$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$x = 2$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

분수 지수가 있는 식을 근호로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\sqrt[3]{x^{1}} (x + 4)$

단계 2.1.2

모든 수의 $1$ 승은 밑 자체입니다.

$\sqrt[3]{x} (x + 4)$

단계 2.2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

단계 4

$(- \infty, 2)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = \frac{4}{9 {(0)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

단계 4.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (0) = \frac{4}{9 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

단계 4.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (0) = \frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

단계 4.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

공약수로 약분합니다.

$f'' (0) = \frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

단계 4.3.2

수식을 다시 씁니다.

$f'' (0) = \frac{4}{9 \cdot 0^{2}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

단계 4.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = \frac{4}{9 \cdot 0} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

단계 4.4.2

$9$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = \frac{4}{0} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

단계 4.4.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

$f'' (0) = Undefined$

$f'' (0) = \frac{4}{0} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

단계 4.5

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

$f'' (0) = Undefined$

단계 4.6

$f'' (0)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- \infty, 2)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, 2)$ 에서 위로 오목함

단계 5

$(2, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f'' (4) = \frac{4}{9 {(4)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(4)}^{\frac{5}{3}}}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 ${(4)}^{\frac{2}{3}}$ 를 분자로 이동합니다.

$f'' (4) = \frac{4 \cdot 4^{- \frac{2}{3}}}{9} - \frac{8}{9 {(4)}^{\frac{5}{3}}}$

단계 5.2.1.2

지수를 더하여 $4$ 에 $4^{- \frac{2}{3}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.2.1

$4$ 에 $4^{- \frac{2}{3}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.2.1.1

$4$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (4) = \frac{4 \cdot 4^{- \frac{2}{3}}}{9} - \frac{8}{9 {(4)}^{\frac{5}{3}}}$

단계 5.2.1.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (4) = \frac{4^{1 - \frac{2}{3}}}{9} - \frac{8}{9 {(4)}^{\frac{5}{3}}}$

단계 5.2.1.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f'' (4) = \frac{4^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{9} - \frac{8}{9 {(4)}^{\frac{5}{3}}}$

단계 5.2.1.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (4) = \frac{4^{\frac{3 - 2}{3}}}{9} - \frac{8}{9 {(4)}^{\frac{5}{3}}}$

단계 5.2.1.2.4

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f'' (4) = \frac{4^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{8}{9 {(4)}^{\frac{5}{3}}}$

$f'' (4) = \frac{4^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{8}{9 \cdot 4^{\frac{5}{3}}}$

단계 5.2.2

최종 답은 $\frac{4^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{8}{9 \cdot 4^{\frac{5}{3}}}$ 입니다.

$\frac{4^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{8}{9 \cdot 4^{\frac{5}{3}}}$

단계 5.3

$f'' (4)$ 이 양수이므로 그래프는 $(2, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(2, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 6

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, 2)$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(2, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 7