미적분 예제

$\int 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$

단계 1

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

단계 2

먼저 $u_{2} = e^{x^{3}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u_{2} = e^{x^{3}}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$e^{x^{3}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

단계 2.1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.1.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

단계 2.1.4

간단히 합니다.

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단계 2.1.4.1

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

단계 2.1.4.2

$3 e^{x^{3}} x^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

단계 2.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$3 \int \frac{1}{3} d u_{2}$

단계 3

상수 규칙을 적용합니다.

$3 (\frac{1}{3} u_{2} + C)$

단계 4

답을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$3 (\frac{1}{3} u_{2} + C)$ 을 $3 (\frac{1}{3}) u_{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$3 (\frac{1}{3}) u_{2} + C$

단계 4.2

간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{3} u_{2} + C$

단계 4.2.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3}{3} u_{2} + C$

단계 4.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 u_{2} + C$

단계 4.2.3

$u_{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{2} + C$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $e^{x^{3}}$ 로 바꿉니다.

$e^{x^{3}} + C$