미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{5} (x) d x$

단계 1

$\cos^{4} (x)$ 로 인수분해합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{4} (x) \cos (x) d x$

단계 2

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x) d x$

단계 2.2

${\cos (x)}^{2 (2)}$ 을 지수 형태로 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

단계 3

피타고라스 항등식을 이용하여 $\cos^{2} (x)$ 를 $1 - \sin^{2} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

단계 4

먼저 $u = \sin (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \cos (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u = \sin (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 4.1.1

$\sin (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 4.1.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\cos (x)$

단계 4.2

$u = \sin (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \sin (0)$

단계 4.3

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$u_{lower} = 0$

단계 4.4

$u = \sin (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

단계 4.5

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{upper} = 1$

단계 4.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

단계 4.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{1} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

단계 5

${(1 - u^{2})}^{2}$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

${(1 - u^{2})}^{2}$ 을 $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{1} (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{0}^{1} 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

단계 5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

단계 5.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

단계 5.5

$u^{2}$ 를 옮깁니다.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

단계 5.6

$u^{2}$ 를 옮깁니다.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

단계 5.7

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{1} 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

단계 5.8

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

단계 5.9

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

단계 5.10

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

단계 5.11

$u^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

단계 5.12

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

단계 5.13

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

단계 5.14

$- u^{2}$ 에서 $u^{2}$ 을 뺍니다.

$\int_{0}^{1} 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

단계 5.15

$- 2 u^{2}$ 와 $u^{4}$ 을 다시 정렬합니다.

$\int_{0}^{1} 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

단계 5.16

$1$ 를 옮깁니다.

$\int_{0}^{1} u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} - 2 u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{4}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} u^{5}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

단계 8

$- 2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d u$

단계 10

$\frac{1}{3}$ 와 $u^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d u$

단계 11

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1}) + u]_{0}^{1}$

단계 12

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1}$ 와 $u]_{0}^{1}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{5} u^{5} + u]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

단계 13

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$1$ , $0$ 일 때, $\frac{1}{5} u^{5} + u$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 1) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

단계 13.2

$1$ , $0$ 일 때, $\frac{u^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 1) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

단계 13.3

간단히 합니다.

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단계 13.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

단계 13.3.2

$\frac{1}{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5} + 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

단계 13.3.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

단계 13.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1 + 5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

단계 13.3.5

$1$ 를 $5$ 에 더합니다.

$\frac{6}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

단계 13.3.6

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{6}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0 + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

단계 13.3.7

$\frac{1}{5}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{5} - (0 + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

단계 13.3.8

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{6}{5} - 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

단계 13.3.9

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{5} + 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

단계 13.3.10

$\frac{6}{5}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

단계 13.3.11

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 13.3.12

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

단계 13.3.13

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.13.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

단계 13.3.13.2

공약수로 약분합니다.

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단계 13.3.13.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

단계 13.3.13.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

단계 13.3.13.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

단계 13.3.13.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - 0)$

단계 13.3.14

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 0)$

단계 13.3.15

$\frac{1}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3})$

단계 13.3.16

$- 2$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{6}{5} + \frac{- 2}{3}$

단계 13.3.17

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{6}{5} - \frac{2}{3}$

단계 13.3.18

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{6}{5}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

단계 13.3.19

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{2}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

단계 13.3.20

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $15$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.20.1

$\frac{6}{5}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

단계 13.3.20.2

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

단계 13.3.20.3

$\frac{2}{3}$ 에 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}$

단계 13.3.20.4

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{15}$

단계 13.3.21

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{6 \cdot 3 - 2 \cdot 5}{15}$

단계 13.3.22

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.22.1

$6$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{18 - 2 \cdot 5}{15}$

단계 13.3.22.2

$- 2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{18 - 10}{15}$

단계 13.3.22.3

$18$ 에서 $10$ 을 뺍니다.

$\frac{8}{15}$

단계 14

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{8}{15}$

소수 형태:

$0.5\overline{3}$