미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (\frac{2 x}{3}) d x$

단계 1

먼저 $u = \frac{2 x}{3}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{2}{3} d x$ 이므로 $\frac{3}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = \frac{2 x}{3}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$\frac{2 x}{3}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$

단계 1.1.2

$\frac{2}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2 x}{3}$ 의 미분은 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3} \cdot 1$

단계 1.1.4

$\frac{2}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3}$

단계 1.2

$u = \frac{2 x}{3}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \frac{2 \cdot 0}{3}$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$2 \cdot 0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3}$

단계 1.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3 (1)}$

단계 1.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3 \cdot 1}$

단계 1.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{lower} = \frac{2 \cdot 0}{1}$

단계 1.3.1.2.4

$2 \cdot 0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

단계 1.3.2

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u = \frac{2 x}{3}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \frac{2 \frac{π}{2}}{3}$

단계 1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$2$ 와 $\frac{π}{2}$ 을 묶습니다.

$u_{upper} = \frac{\frac{2 π}{2}}{3}$

단계 1.5.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

공약수를 소거하여 수식 $\frac{2 π}{2}$ 을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = \frac{\frac{2 π}{2}}{3}$

단계 1.5.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = \frac{\frac{π}{1}}{3}$

단계 1.5.2.2

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{1}{\frac{2}{3}} d u$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{2}{3}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) (1 (\frac{3}{2})) d u$

단계 2.2

$\frac{3}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{3}{2} d u$

단계 2.3

$\cos (u)$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (u) \cdot 3}{2} d u$

단계 2.4

$\cos (u)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \cos (u)}{2} d u$

단계 3

$\frac{3}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{3}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) d u$

단계 4

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$\frac{3}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

단계 5

$\frac{π}{3}$ , $0$ 일 때, $\sin (u)$ 값을 계산합니다.

$\frac{3}{2} (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (0))$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\sin (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (0))$

단계 6.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0)$

단계 6.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 0)$

단계 6.4

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 6.5

$\frac{3}{2}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

단계 6.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

소수 형태:

$1.29903810 \dots$