미적분 예제

$\int x^{3} \cos (2 x) d x$

단계 1

$u = x^{3}$ 이고 $d v = \cos (2 x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x^{3} (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (3 x^{2}) d x$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (2 x)$ 을 묶습니다.

$x^{3} \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (3 x^{2}) d x$

단계 2.2

$x^{3}$ 와 $\frac{\sin (2 x)}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (3 x^{2}) d x$

단계 3

$\frac{1}{2} \cdot 3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2} \cdot 3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 3 \int \sin (2 x) (x^{2}) d x)$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} \int \sin (2 x) (x^{2}) d x$

단계 5

$u = x^{2}$ 이고 $d v = \sin (2 x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (2 x) d x)$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\cos (2 x)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (2 x) d x)$

단계 6.2

$x^{2}$ 와 $\frac{\cos (2 x)}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (2 x) d x)$

단계 6.3

$\cos (2 x)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} (2 x) d x)$

단계 6.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int - 2 \frac{\cos (2 x)}{2} x d x)$

단계 6.5

$- 2$ 와 $\frac{\cos (2 x)}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int \frac{- 2 \cos (2 x)}{2} x d x)$

단계 6.6

$\frac{- 2 \cos (2 x)}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int \frac{- 2 \cos (2 x) x}{2} d x)$

단계 6.7

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.1

$- 2 \cos (2 x) x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int \frac{2 (- \cos (2 x) x)}{2} d x)$

단계 6.7.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int \frac{2 (- \cos (2 x) x)}{2 (1)} d x)$

단계 6.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int \frac{2 (- \cos (2 x) x)}{2 \cdot 1} d x)$

단계 6.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int \frac{- \cos (2 x) x}{1} d x)$

단계 6.7.2.4

$- \cos (2 x) x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int - \cos (2 x) x d x)$

단계 7

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - - \int \cos (2 x) x d x)$

단계 8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + 1 \int \cos (2 x) x d x)$

단계 8.2

$\int \cos (2 x) x d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \int \cos (2 x) x d x)$

단계 9

$u = x$ 이고 $d v = \cos (2 x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + x (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x)$

단계 10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (2 x)$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + x \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x)$

단계 10.2

$x$ 와 $\frac{\sin (2 x)}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x)$

단계 10.3

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (2 x)$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \int \frac{\sin (2 x)}{2} d x)$

단계 11

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \int \sin (2 x) d x))$

단계 12

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 12.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 12.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 12.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 12.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u)$

단계 13

$\sin (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u)}{2} d u)$

단계 14

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

단계 15

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u) d u)$

단계 15.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} \int \sin (u) d u)$

단계 16

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u)$ 입니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C))$

단계 17

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C))$ 을 $\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4}) + C$

단계 17.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4})$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

단계 17.2.2

$- \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4})$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} + \frac{- \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4}) \cdot 2}{2} + C$

단계 17.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x) - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4}) \cdot 2}{2} + C$

단계 17.2.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x) - 2 (\frac{3}{2}) (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4})}{2} + C$

단계 17.2.5

$- 2$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{- 2 \cdot 3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4})}{2} + C$

단계 17.2.6

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{- 6}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4})}{2} + C$

단계 17.2.7

$- 6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.7.1

$- 6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{2 \cdot - 3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4})}{2} + C$

단계 17.2.7.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.7.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4})}{2} + C$

단계 17.2.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4})}{2} + C$

단계 17.2.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{- 3}{1} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4})}{2} + C$

단계 17.2.7.2.4

$- 3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x) - 3 (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4})}{2} + C$

단계 18

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x) - 3 (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (2 x)}{4})}{2} + C$

단계 19

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x) - 3 (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2}) - 3 \frac{x \sin (2 x)}{2} - 3 \frac{\cos (2 x)}{4}}{2} + C$

단계 19.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1.2.1

$- 3 (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1.2.1.1

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + 3 \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - 3 \frac{x \sin (2 x)}{2} - 3 \frac{\cos (2 x)}{4}}{2} + C$

단계 19.1.2.1.2

$3$ 와 $\frac{x^{2} \cos (2 x)}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{3 (x^{2} \cos (2 x))}{2} - 3 \frac{x \sin (2 x)}{2} - 3 \frac{\cos (2 x)}{4}}{2} + C$

단계 19.1.2.2

$- 3$ 와 $\frac{x \sin (2 x)}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{3 (x^{2} \cos (2 x))}{2} + \frac{- 3 (x \sin (2 x))}{2} - 3 \frac{\cos (2 x)}{4}}{2} + C$

단계 19.1.2.3

$- 3$ 와 $\frac{\cos (2 x)}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{3 (x^{2} \cos (2 x))}{2} + \frac{- 3 (x \sin (2 x))}{2} + \frac{- 3 \cos (2 x)}{4}}{2} + C$

단계 19.1.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{3 x^{2} \cos (2 x)}{2} - \frac{3 x \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 \cos (2 x)}{4}}{2} + C$

단계 19.1.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{3 x^{2} \cos (2 x)}{2} - \frac{3 x \sin (2 x)}{2} - \frac{3 \cos (2 x)}{4}}{2} + C$

단계 19.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} (x^{3} \sin (2 x) + \frac{3}{2} x^{2} \cos (2 x) - \frac{3}{2} x \sin (2 x) - \frac{3}{4} \cos (2 x)) + C$