미적분 예제

$\int \cos^{3} (4 x) d x$

단계 1

먼저 $u_{1} = 4 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 4 d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u_{1} = 4 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$4 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 x]$

단계 1.1.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cdot 1$

단계 1.1.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4$

단계 1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \cos^{3} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1}$

단계 2

$\cos^{3} (u_{1})$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4} d u_{1}$

단계 3

$\frac{1}{4}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

단계 4

$\cos^{2} (u_{1})$ 로 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} \int \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

단계 5

피타고라스 항등식을 이용하여 $\cos^{2} (u_{1})$ 를 $1 - \sin^{2} (u_{1})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{4} \int (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) d u_{1}$

단계 6

먼저 $u_{2} = \sin (u_{1})$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ 이므로 $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$u_{2} = \sin (u_{1})$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$\sin (u_{1})$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

단계 6.1.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$\cos (u_{1})$

단계 6.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{4} \int 1 - {u_{2}}^{2} d u_{2}$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{4} (\int d u_{2} + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

단계 8

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} (u_{2} + C + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

단계 9

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} (u_{2} + C - \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

단계 10

멱의 법칙에 의해 ${u_{2}}^{2}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} (u_{2} + C - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C))$

단계 11

간단히 합니다.

$\frac{1}{4} (u_{2} - \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

단계 12

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (u_{1})$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} (\sin (u_{1}) - \frac{1}{3} \sin^{3} (u_{1})) + C$

단계 12.2

$u_{1}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} (\sin (4 x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (4 x)) + C$

단계 13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\sin^{3} (4 x)$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} (\sin (4 x) - \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

단계 13.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} \sin (4 x) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

단계 13.3

$\frac{1}{4}$ 와 $\sin (4 x)$ 을 묶습니다.

$\frac{\sin (4 x)}{4} + \frac{1}{4} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

단계 13.4

$\frac{1}{4} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.1

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{\sin^{3} (4 x)}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (4 x)}{4} - \frac{\sin^{3} (4 x)}{4 \cdot 3} + C$

단계 13.4.2

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (4 x)}{4} - \frac{\sin^{3} (4 x)}{12} + C$

단계 14

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{4} \sin (4 x) - \frac{1}{12} \sin^{3} (4 x) + C$