미적분 예제

$\int \frac{x^{2} - 1}{x^{3} + x} d x$

단계 1

부분 분수 분해를 사용하여 분수를 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분수를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{3} + x}$

단계 1.1.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{3} + x}$

단계 1.1.1.3

$x^{3} + x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x}$

단계 1.1.1.3.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x^{1}}$

단계 1.1.1.3.3

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

단계 1.1.1.3.4

$x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x^{2} + 1)}$

단계 1.1.2

분모의 각 인수에 대해 분모에는 인수를, 분자에는 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 인수가 2차이므로 분자에 $2$ 개의 항이 필요합니다. 분자에 필요한 항의 개수는 항상 분모에 있는 인수의 차수와 동일합니다.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.3

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $x (x^{2} + 1)$ 입니다.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.4

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.4.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.4.2

$x^{2} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.4.2.2

$(x + 1) (x - 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$(x + 1) (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 1) (x - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.6

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.6.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.6.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.6.1.4

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.6.1.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} - x + x - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.6.2

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$x^{2} + 0 - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.6.3

$x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{2} - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.7

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.7.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.7.1.1

공약수로 약분합니다.

$x^{2} - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.7.1.2

$A (x^{2} + 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} - 1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.7.3

$A$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.7.4

$x^{2} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.7.4.1

공약수로 약분합니다.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.7.4.2

$(B x + C) (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

단계 1.1.7.5

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

단계 1.1.7.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.7.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

단계 1.1.7.6.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

단계 1.1.8

$A$ 를 옮깁니다.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

단계 1.2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식의 각 변의 $x^{2}$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$1 = A + B$

단계 1.2.2

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = C$

단계 1.2.3

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$- 1 = A$

단계 1.2.4

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = A$

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = A$

단계 1.3

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$C = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$C = 0$

$1 = A + B$

$- 1 = A$

단계 1.3.2

$A = - 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = A + B$

단계 1.3.3

각 방정식에서 $A$ 를 모두 $- 1$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

$1 = A + B$ 의 $A$ 를 모두 $- 1$ 로 바꿉니다.

$1 = (- 1) + B$

$A = - 1$

$C = 0$

단계 1.3.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

단계 1.3.4

$1 = - 1 + B$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1

$- 1 + B = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 1 + B = 1$

$A = - 1$

$C = 0$

단계 1.3.4.2

$B$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$B = 1 + 1$

$A = - 1$

$C = 0$

단계 1.3.4.2.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

단계 1.3.5

연립방정식을 풉니다.

$B = 2 A = - 1 C = 0$

단계 1.3.6

모든 해를 나열합니다.

$B = 2, A = - 1, C = 0$

단계 1.4

$A$ , $B$ , $C$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$- \frac{1}{x} + \frac{2 x + 0}{x^{2} + 1}$

단계 1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

괄호를 제거합니다.

$\frac{- 1}{x} + \frac{(2) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

단계 1.5.2

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- 1}{x} + \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

단계 1.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int - \frac{1}{x} + \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

단계 3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

단계 4

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

단계 5

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

단계 6

먼저 $u = x^{2} + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$u = x^{2} + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$x^{2} + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 6.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 6.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

단계 6.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 x + 0$

단계 6.1.5

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 6.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

단계 7.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

단계 8

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\ln (| x |) + C) + 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

단계 9.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

공약수로 약분합니다.

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

단계 9.2.2

수식을 다시 씁니다.

$- (\ln (| x |) + C) + 1 \int \frac{1}{u} d u$

단계 9.3

$\int \frac{1}{u} d u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{u} d u$

단계 10

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$- (\ln (| x |) + C) + \ln (| u |) + C$

단계 11

간단히 합니다.

$- \ln (| x |) + \ln (| u |) + C$

단계 12

$u$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$- \ln (| x |) + \ln (| x^{2} + 1 |) + C$