미적분 예제

$y = x e^{x}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

단계 1.3.2

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x e^{x} + e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

단계 2.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

단계 2.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x})$

단계 2.2.4

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

단계 2.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$e^{x}$ 를 $e^{x}$ 에 더합니다.

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

단계 2.4.2

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = e^{x} x + 2 e^{x}$

단계 2.4.3

$e^{x} x + 2 e^{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x e^{x} + 2 e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ 가 됩니다.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

단계 3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

단계 3.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

단계 3.2.4

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 e^{x}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} + 2 \frac{d}{d x} (e^{x})$

단계 3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} + 2 e^{x}$

단계 3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$e^{x}$ 를 $2 e^{x}$ 에 더합니다.

$f''' (x) = x e^{x} + 3 e^{x}$

단계 3.4.2

항을 다시 정렬합니다.

$f''' (x) = e^{x} x + 3 e^{x}$

단계 3.4.3

$e^{x} x + 3 e^{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f''' (x) = x e^{x} + 3 e^{x}$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $x e^{x} + 3 e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ 가 됩니다.

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

단계 4.2

$\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

단계 4.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

단계 4.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

단계 4.2.4

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

단계 4.3

$\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 e^{x}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$f^{4} (x) = x e^{x} + e^{x} + 3 \frac{d}{d x} (e^{x})$

단계 4.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = x e^{x} + e^{x} + 3 e^{x}$

단계 4.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$e^{x}$ 를 $3 e^{x}$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = x e^{x} + 4 e^{x}$

단계 4.4.2

항을 다시 정렬합니다.

$f^{4} (x) = e^{x} x + 4 e^{x}$

단계 4.4.3

$e^{x} x + 4 e^{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f^{4} (x) = x e^{x} + 4 e^{x}$