미적분 예제

$f (x) = {(x^{2} + 8)}^{9}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x^{9}$ , $g (x) = x^{2} + 8$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 8$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{9}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)$

단계 1.1.2

$n = 9$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 9 u^{8} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 8$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ 가 됩니다.

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 8)}^{8} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8))$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 8)}^{8} (2 x + \frac{d}{d x} (8))$

단계 1.2.3

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 8)}^{8} (2 x + 0)$

단계 1.2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 8)}^{8} (2 x)$

단계 1.2.4.2

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{8} x$

단계 1.2.4.3

$18 {(x^{2} + 8)}^{8} x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 18 x {(x^{2} + 8)}^{8}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$18$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $18 x {(x^{2} + 8)}^{8}$ 의 미분은 $18 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 8)}^{8}]$ 입니다.

$f'' (x) = 18 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{8})$

단계 2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x^{2} + 8)}^{8}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 18 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{8}) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.3

$f (x) = x^{8}$ , $g (x) = x^{2} + 8$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 8$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 18 (x (\frac{d}{d u} (u^{8}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.3.2

$n = 8$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 18 (x (8 u^{7} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 8$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 8)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.4

미분합니다.

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단계 2.4.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 8)}^{7} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8))) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 8)}^{7} (2 x + \frac{d}{d x} (8))) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.4.3

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 8)}^{7} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.4.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 8)}^{7} (2 x)) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.4.4.2

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 18 (x (16 {(x^{2} + 8)}^{7} x) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 18 (x \cdot x (16 {(x^{2} + 8)}^{7}) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 18 (x \cdot x (16 {(x^{2} + 8)}^{7}) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 18 (x^{1 + 1} (16 {(x^{2} + 8)}^{7}) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 8)}^{7}) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 8)}^{7}) + {(x^{2} + 8)}^{8} \cdot 1)$

단계 2.10

${(x^{2} + 8)}^{8}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 8)}^{7}) + {(x^{2} + 8)}^{8})$

단계 2.11

간단히 합니다.

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단계 2.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 8)}^{7})) + 18 {(x^{2} + 8)}^{8}$

단계 2.11.2

$16$ 에 $18$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 288 (x^{2} ({(x^{2} + 8)}^{7})) + 18 {(x^{2} + 8)}^{8}$

단계 2.11.3

$288 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{7} + 18 {(x^{2} + 8)}^{8}$ 에서 $18 {(x^{2} + 8)}^{7}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.11.3.1

$288 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{7}$ 에서 $18 {(x^{2} + 8)}^{7}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 8)}^{8}$

단계 2.11.3.2

$18 {(x^{2} + 8)}^{8}$ 에서 $18 {(x^{2} + 8)}^{7}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 8)}^{7} (x^{2} + 8)$

단계 2.11.3.3

$18 {(x^{2} + 8)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 8)}^{7} (x^{2} + 8)$ 에서 $18 {(x^{2} + 8)}^{7}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{7} (16 x^{2} + x^{2} + 8)$

단계 2.11.4

$16 x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{7} (17 x^{2} + 8)$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

$18$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $18 {(x^{2} + 8)}^{7} (17 x^{2} + 8)$ 의 미분은 $18 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 8)}^{7} (17 x^{2} + 8)]$ 입니다.

$f''' (x) = 18 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7} (17 x^{2} + 8))$

단계 3.2

$f (x) = {(x^{2} + 8)}^{7}$ , $g (x) = 17 x^{2} + 8$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} \frac{d}{d x} (17 x^{2} + 8) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

단계 3.3

미분합니다.

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단계 3.3.1

합의 법칙에 의해 $17 x^{2} + 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [17 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ 가 됩니다.

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} (\frac{d}{d x} (17 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

단계 3.3.2

$17$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $17 x^{2}$ 의 미분은 $17 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} (17 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

단계 3.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} (17 (2 x) + \frac{d}{d x} (8)) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

단계 3.3.4

$2$ 에 $17$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} (34 x + \frac{d}{d x} (8)) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

단계 3.3.5

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} (34 x + 0) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

단계 3.3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.6.1

$34 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} (34 x) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

단계 3.3.6.2

${(x^{2} + 8)}^{7}$ 의 왼쪽으로 $34$ 이동하기

$f''' (x) = 18 (34 \cdot ({(x^{2} + 8)}^{7} x) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

단계 3.4

$f (x) = x^{7}$ , $g (x) = x^{2} + 8$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 8$ 로 바꿉니다.

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + (17 x^{2} + 8) (\frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)))$

단계 3.4.2

$n = 7$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + (17 x^{2} + 8) (7 u^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)))$

단계 3.4.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 8$ 로 바꿉니다.

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + (17 x^{2} + 8) (7 {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)))$

단계 3.5

미분합니다.

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단계 3.5.1

$17 x^{2} + 8$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 7 \cdot ((17 x^{2} + 8) {(x^{2} + 8)}^{6}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 8))$

단계 3.5.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ 가 됩니다.

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 7 (17 x^{2} + 8) {(x^{2} + 8)}^{6} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)))$

단계 3.5.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 7 (17 x^{2} + 8) {(x^{2} + 8)}^{6} (2 x + \frac{d}{d x} (8)))$

단계 3.5.4

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 7 (17 x^{2} + 8) {(x^{2} + 8)}^{6} (2 x + 0))$

단계 3.5.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.5.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 7 (17 x^{2} + 8) {(x^{2} + 8)}^{6} (2 x))$

단계 3.5.5.2

$2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 14 (17 x^{2} + 8) {(x^{2} + 8)}^{6} x)$

단계 3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + (14 (17 x^{2}) + 14 \cdot 8) {(x^{2} + 8)}^{6} x)$

단계 3.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x) + 18 ((14 (17 x^{2}) + 14 \cdot 8) {(x^{2} + 8)}^{6} x)$

단계 3.6.3

$34$ 에 $18$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 612 ({(x^{2} + 8)}^{7} x) + 18 ((14 (17 x^{2}) + 14 \cdot 8) {(x^{2} + 8)}^{6} x)$

단계 3.6.4

$17$ 에 $14$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 612 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 18 ((238 x^{2} + 14 \cdot 8) {(x^{2} + 8)}^{6} x)$

단계 3.6.5

$14$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 612 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 18 ((238 x^{2} + 112) {(x^{2} + 8)}^{6} x)$

단계 3.6.6

$612 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 18 (238 x^{2} + 112) {(x^{2} + 8)}^{6} x$ 에서 $18 {(x^{2} + 8)}^{6} x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.6.1

$612 {(x^{2} + 8)}^{7} x$ 에서 $18 {(x^{2} + 8)}^{6} x$ 를 인수분해합니다.

$f''' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (34 (x^{2} + 8)) + 18 (238 x^{2} + 112) {(x^{2} + 8)}^{6} x$

단계 3.6.6.2

$18 (238 x^{2} + 112) {(x^{2} + 8)}^{6} x$ 에서 $18 {(x^{2} + 8)}^{6} x$ 를 인수분해합니다.

$f''' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (34 (x^{2} + 8)) + 18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (238 x^{2} + 112)$

단계 3.6.6.3

$18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (34 (x^{2} + 8)) + 18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (238 x^{2} + 112)$ 에서 $18 {(x^{2} + 8)}^{6} x$ 를 인수분해합니다.

$f''' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (34 (x^{2} + 8) + 238 x^{2} + 112)$

단계 3.6.7

$18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (34 (x^{2} + 8) + 238 x^{2} + 112)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f''' (x) = 18 x {(x^{2} + 8)}^{6} (34 (x^{2} + 8) + 238 x^{2} + 112)$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (18 x {(x^{2} + 8)}^{6} (34 x^{2} + 34 \cdot 8 + 238 x^{2} + 112))$

단계 4.1.1.2

$34$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (18 x {(x^{2} + 8)}^{6} (34 x^{2} + 272 + 238 x^{2} + 112))$

단계 4.1.2

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$34 x^{2}$ 를 $238 x^{2}$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (18 x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 x^{2} + 272 + 112))$

단계 4.1.2.2

$272$ 를 $112$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (18 x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 x^{2} + 384))$

단계 4.1.3

$18$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $18 x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 x^{2} + 384)$ 의 미분은 $18 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 x^{2} + 384)]$ 입니다.

$f^{4} (x) = 18 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 x^{2} + 384))$

단계 4.2

$f (x) = x {(x^{2} + 8)}^{6}$ , $g (x) = 272 x^{2} + 384$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (272 x^{2} + 384) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

단계 4.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

합의 법칙에 의해 $272 x^{2} + 384$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [272 x^{2}] + \frac{d}{d x} [384]$ 가 됩니다.

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} (\frac{d}{d x} (272 x^{2}) + \frac{d}{d x} (384)) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

단계 4.3.2

$272$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $272 x^{2}$ 의 미분은 $272 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (384)) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

단계 4.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 (2 x) + \frac{d}{d x} (384)) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

단계 4.3.4

$2$ 에 $272$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} (544 x + \frac{d}{d x} (384)) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

단계 4.3.5

$384$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $384$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $384$ 입니다.

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} (544 x + 0) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

단계 4.3.6

$544 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} (544 x) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

단계 4.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f^{4} (x) = 18 (x \cdot x {(x^{2} + 8)}^{6} \cdot 544 + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

단계 4.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f^{4} (x) = 18 (x \cdot x {(x^{2} + 8)}^{6} \cdot 544 + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

단계 4.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f^{4} (x) = 18 (x^{1 + 1} {(x^{2} + 8)}^{6} \cdot 544 + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

단계 4.7

식을 간단히 합니다.

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단계 4.7.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = 18 (x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} \cdot 544 + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

단계 4.7.2

$x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6}$ 의 왼쪽으로 $544$ 이동하기

$f^{4} (x) = 18 (544 \cdot (x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6}) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

단계 4.8

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x^{2} + 8)}^{6}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{6}) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

단계 4.9

$f (x) = x^{6}$ , $g (x) = x^{2} + 8$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.9.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 8$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (\frac{d}{d u} (u^{6}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

단계 4.9.2

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (6 u^{5} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

단계 4.9.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 8$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (6 {(x^{2} + 8)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

단계 4.10

미분합니다.

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단계 4.10.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ 가 됩니다.

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (6 {(x^{2} + 8)}^{5} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8))) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

단계 4.10.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (6 {(x^{2} + 8)}^{5} (2 x + \frac{d}{d x} (8))) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

단계 4.10.3

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (6 {(x^{2} + 8)}^{5} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

단계 4.10.4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.10.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (6 {(x^{2} + 8)}^{5} (2 x)) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

단계 4.10.4.2

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (12 {(x^{2} + 8)}^{5} x) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

단계 4.11

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x \cdot x (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

단계 4.12

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x \cdot x (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

단계 4.13

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x^{1 + 1} (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

단계 4.14

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x^{2} (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

단계 4.15

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x^{2} (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6} \cdot 1))$

단계 4.16

${(x^{2} + 8)}^{6}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x^{2} (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6}))$

단계 5

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 4차 도함수는 $18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x^{2} (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6}))$ 입니다.

$18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x^{2} (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6}))$