미적분 예제

$y = 4^{e^{x^{2}}}$

단계 1

$f (x) = 4^{x}$ , $g (x) = e^{x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $e^{x^{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [4^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

단계 1.2

$a$ = $4$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4^{u_{1}} \ln (4) \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $e^{x^{2}}$ 로 바꿉니다.

$4^{e^{x^{2}}} \ln (4) \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$4^{e^{x^{2}}} \ln (4) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4^{e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$4^{e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4^{e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{x^{2}} (2 x))$

단계 3.2

식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \cdot {(2^{2})}^{e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{x^{2}} (x))$

단계 3.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 \cdot 2^{2 e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{x^{2}} (x))$

단계 4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2^{1 + 2 e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{x^{2}} (x))$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$2^{1 + 2 e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{x^{2}} (x))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$2^{1 + 2 e^{x^{2}}} e^{x^{2}} x \ln (4)$

단계 5.2

$2^{1 + 2 e^{x^{2}}} e^{x^{2}} x \ln (4)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x \cdot 2^{1 + 2 e^{x^{2}}} e^{x^{2}} \ln (4)$