미적분 예제

$y = \frac{x}{2 - \tan (x)}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{2 - \tan (x)})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = x$ , $g (x) = 2 - \tan (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(2 - \tan (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2 - \tan (x)]}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

단계 3.2

미분합니다.

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단계 3.2.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(2 - \tan (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [2 - \tan (x)]}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

단계 3.2.2

$2 - \tan (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 - \tan (x) - x \frac{d}{d x} [2 - \tan (x)]}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

단계 3.2.3

합의 법칙에 의해 $2 - \tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{2 - \tan (x) - x (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

단계 3.2.4

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{2 - \tan (x) - x (0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

단계 3.2.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ 에 더합니다.

$\frac{2 - \tan (x) - x \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

단계 3.2.6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \tan (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 입니다.

$\frac{2 - \tan (x) - x (- \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

단계 3.2.7

곱합니다.

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단계 3.2.7.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 - \tan (x) + 1 x \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

단계 3.2.7.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 - \tan (x) + x \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

단계 3.3

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$\frac{2 - \tan (x) + x \sec^{2} (x)}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

단계 3.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{x \sec^{2} (x) + 2 - \tan (x)}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{x \sec^{2} (x) + 2 - \tan (x)}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sec^{2} (x) + 2 - \tan (x)}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$