미적분 예제

$x^{3} < 49 x$

단계 1

부등식의 양변에서 $49 x$ 를 뺍니다.

$x^{3} - 49 x < 0$

단계 2

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$x^{3} - 49 x = 0$

단계 3

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x^{3} - 49 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{2} - 49 x = 0$

단계 3.1.2

$- 49 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 49 = 0$

단계 3.1.3

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 49$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x^{2} - 49) = 0$

단계 3.2

$49$ 을 $7^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x (x^{2} - 7^{2}) = 0$

단계 3.3

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 7$ 입니다.

$x ((x + 7) (x - 7)) = 0$

단계 3.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x (x + 7) (x - 7) = 0$

단계 4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x + 7 = 0$

$x - 7 = 0$

단계 5

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 6

$x + 7$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$x + 7$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 7 = 0$

단계 6.2

방정식의 양변에서 $7$ 를 뺍니다.

$x = - 7$

단계 7

$x - 7$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$x - 7$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 7 = 0$

단계 7.2

방정식의 양변에 $7$ 를 더합니다.

$x = 7$

단계 8

$x (x + 7) (x - 7) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 7, 7$

단계 9

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 7$

$- 7 < x < 0$

$0 < x < 7$

$x > 7$

단계 10

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$x < - 7$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$x < - 7$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 10$

단계 10.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 10$ 로 치환합니다.

${(- 10)}^{3} < 49 (- 10)$

단계 10.1.3

좌변 $- 1000$ 이 우변 $- 490$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 10.2

$- 7 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$- 7 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 10.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

${(- 4)}^{3} < 49 (- 4)$

단계 10.2.3

좌변 $- 64$ 이 우변 $- 196$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 10.3

$0 < x < 7$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

$0 < x < 7$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 10.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

${(4)}^{3} < 49 (4)$

단계 10.3.3

좌변 $64$ 이 우변 $196$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 10.4

$x > 7$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.1

$x > 7$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 10$

단계 10.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $10$ 로 치환합니다.

${(10)}^{3} < 49 (10)$

단계 10.4.3

좌변 $1000$ 이 우변 $490$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 10.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 7$ 참

$- 7 < x < 0$ 거짓

$0 < x < 7$ 참

$x > 7$ 거짓

$x < - 7$ 참

$- 7 < x < 0$ 거짓

$0 < x < 7$ 참

$x > 7$ 거짓

단계 11

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - 7$ 또는 $0 < x < 7$

단계 12

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(- \infty, - 7) \cup (0, 7)$

단계 13