미적분 예제

$8 x {(x^{2} + 9)}^{3}$

단계 1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x {(x^{2} + 9)}^{3}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 9)}^{3}]$ 입니다.

$8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 9)}^{3}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x^{2} + 9)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{3}] + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x^{2} + 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 9$ 로 바꿉니다.

$8 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 9$ 로 바꿉니다.

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [9])) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} (2 x)) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.4.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$8 (x (6 {(x^{2} + 9)}^{2} x) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$8 (x^{1} x (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$8 (x^{1} x^{1} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$8 (x^{1 + 1} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \cdot 1)$

단계 10

${(x^{2} + 9)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3})$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 9)}^{2})) + 8 {(x^{2} + 9)}^{3}$

단계 11.2

$6$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$48 (x^{2} ({(x^{2} + 9)}^{2})) + 8 {(x^{2} + 9)}^{3}$

단계 11.3

$48 x^{2} {(x^{2} + 9)}^{2} + 8 {(x^{2} + 9)}^{3}$ 에서 $8 {(x^{2} + 9)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 11.3.1

$48 x^{2} {(x^{2} + 9)}^{2}$ 에서 $8 {(x^{2} + 9)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$8 {(x^{2} + 9)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 9)}^{3}$

단계 11.3.2

$8 {(x^{2} + 9)}^{3}$ 에서 $8 {(x^{2} + 9)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$8 {(x^{2} + 9)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 9)}^{2} (x^{2} + 9)$

단계 11.3.3

$8 {(x^{2} + 9)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 9)}^{2} (x^{2} + 9)$ 에서 $8 {(x^{2} + 9)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$8 {(x^{2} + 9)}^{2} (6 x^{2} + x^{2} + 9)$

단계 11.4

$6 x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$8 {(x^{2} + 9)}^{2} (7 x^{2} + 9)$

단계 11.5

${(x^{2} + 9)}^{2}$ 을 $(x^{2} + 9) (x^{2} + 9)$ 로 바꿔 씁니다.

$8 ((x^{2} + 9) (x^{2} + 9)) (7 x^{2} + 9)$

단계 11.6

FOIL 계산법을 이용하여 $(x^{2} + 9) (x^{2} + 9)$ 를 전개합니다.

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단계 11.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$8 (x^{2} (x^{2} + 9) + 9 (x^{2} + 9)) (7 x^{2} + 9)$

단계 11.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 9 + 9 (x^{2} + 9)) (7 x^{2} + 9)$

단계 11.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (7 x^{2} + 9)$

단계 11.7

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 11.7.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.7.1.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 11.7.1.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (7 x^{2} + 9)$

단계 11.7.1.1.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$8 (x^{4} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (7 x^{2} + 9)$

단계 11.7.1.2

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$8 (x^{4} + 9 \cdot x^{2} + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (7 x^{2} + 9)$

단계 11.7.1.3

$9$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$8 (x^{4} + 9 x^{2} + 9 x^{2} + 81) (7 x^{2} + 9)$

단계 11.7.2

$9 x^{2}$ 를 $9 x^{2}$ 에 더합니다.

$8 (x^{4} + 18 x^{2} + 81) (7 x^{2} + 9)$

단계 11.8

분배 법칙을 적용합니다.

$(8 x^{4} + 8 (18 x^{2}) + 8 \cdot 81) (7 x^{2} + 9)$

단계 11.9

간단히 합니다.

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단계 11.9.1

$18$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$(8 x^{4} + 144 x^{2} + 8 \cdot 81) (7 x^{2} + 9)$

단계 11.9.2

$8$ 에 $81$ 을 곱합니다.

$(8 x^{4} + 144 x^{2} + 648) (7 x^{2} + 9)$

단계 11.10

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(8 x^{4} + 144 x^{2} + 648) (7 x^{2} + 9)$ 를 전개합니다.

$8 x^{4} (7 x^{2}) + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

단계 11.11

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.11.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$8 \cdot 7 x^{4} x^{2} + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

단계 11.11.2

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 11.11.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$8 \cdot 7 (x^{2} x^{4}) + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

단계 11.11.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$8 \cdot 7 x^{2 + 4} + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

단계 11.11.2.3

$2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$8 \cdot 7 x^{6} + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

단계 11.11.3

$8$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$56 x^{6} + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

단계 11.11.4

$9$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

단계 11.11.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 \cdot 7 x^{2} x^{2} + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

단계 11.11.6

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 11.11.6.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 \cdot 7 (x^{2} x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

단계 11.11.6.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 \cdot 7 x^{2 + 2} + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

단계 11.11.6.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 \cdot 7 x^{4} + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

단계 11.11.7

$144$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 1008 x^{4} + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

단계 11.11.8

$9$ 에 $144$ 을 곱합니다.

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 1008 x^{4} + 1296 x^{2} + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

단계 11.11.9

$7$ 에 $648$ 을 곱합니다.

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 1008 x^{4} + 1296 x^{2} + 4536 x^{2} + 648 \cdot 9$

단계 11.11.10

$648$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 1008 x^{4} + 1296 x^{2} + 4536 x^{2} + 5832$

단계 11.12

$72 x^{4}$ 를 $1008 x^{4}$ 에 더합니다.

$56 x^{6} + 1080 x^{4} + 1296 x^{2} + 4536 x^{2} + 5832$

단계 11.13

$1296 x^{2}$ 를 $4536 x^{2}$ 에 더합니다.

$56 x^{6} + 1080 x^{4} + 5832 x^{2} + 5832$