미적분 예제

${(\frac{x + 5}{x^{2} + 2})}^{2}$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \frac{x + 5}{x^{2} + 2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x + 5}{x^{2} + 2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{2} + 2}]$

단계 1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{2} + 2}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{x + 5}{x^{2} + 2}$ 로 바꿉니다.

$2 \frac{x + 5}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{2} + 2}]$

단계 2

$2$ 와 $\frac{x + 5}{x^{2} + 2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{2} + 2}]$

단계 3

$f (x) = x + 5$ , $g (x) = x^{2} + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{(x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $x + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{(x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{(x^{2} + 2) (1 + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

단계 4.3

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{(x^{2} + 2) (1 + 0) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

단계 4.4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{(x^{2} + 2) \cdot 1 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

단계 4.4.2

$x^{2} + 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

단계 4.5

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - (x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

단계 4.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - (x + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

단계 4.7

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - (x + 5) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

단계 4.8

분수를 통분합니다.

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단계 4.8.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - (x + 5) (2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

단계 4.8.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

단계 4.8.3

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2}$ 에 $\frac{x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x + 5) (x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x)}{(x^{2} + 2) {(x^{2} + 2)}^{2}}$

단계 5

지수를 더하여 $x^{2} + 2$ 에 ${(x^{2} + 2)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.1

$x^{2} + 2$ 에 ${(x^{2} + 2)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.1.1

$x^{2} + 2$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x + 5) (x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x)}{{(x^{2} + 2)}^{1} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

단계 5.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 (x + 5) (x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x)}{{(x^{2} + 2)}^{1 + 2}}$

단계 5.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x + 5) (x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 5) (x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 5) (x^{2} + 2 + (- 2 x - 2 \cdot 5) x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 5) (x^{2} + 2 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.4.1

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 x + 10) (x^{2} + 2 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.4.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.4.2.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 6.4.2.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{(2 x + 10) (x^{2} + 2 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.4.2.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 x + 10) (x^{2} + 2 - 2 x^{2} - 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.4.2.2

$- 2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 x + 10) (x^{2} + 2 - 2 x^{2} - 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.4.3

$x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{(2 x + 10) (- x^{2} + 2 - 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.4.4

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(2 x + 10) (- x^{2} + 2 - 10 x)$ 를 전개합니다.

$\frac{2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.4.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.4.5.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.4.5.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.4.5.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.4.5.2.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 6.4.5.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.4.5.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.4.5.2.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.4.5.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x^{3} + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.4.5.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.4.5.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x + 2 \cdot - 10 x \cdot x + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.4.5.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 6.4.5.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x + 2 \cdot - 10 (x \cdot x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.4.5.6.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x + 2 \cdot - 10 x^{2} + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.4.5.7

$2$ 에 $- 10$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x - 20 x^{2} + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.4.5.8

$- 1$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x - 20 x^{2} - 10 x^{2} + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.4.5.9

$10$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x - 20 x^{2} - 10 x^{2} + 20 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.4.5.10

$- 10$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x - 20 x^{2} - 10 x^{2} + 20 - 100 x}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.4.6

$4 x$ 에서 $100 x$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 x^{3} - 20 x^{2} - 10 x^{2} + 20 - 96 x}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.4.7

$- 20 x^{2}$ 에서 $10 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 x^{3} - 30 x^{2} + 20 - 96 x}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 2 x^{3} - 30 x^{2} - 96 x + 20}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.6

$- 2 x^{3} - 30 x^{2} - 96 x + 20$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.6.1

$- 2 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x^{3}) - 30 x^{2} - 96 x + 20}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.6.2

$- 30 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 15 x^{2}) - 96 x + 20}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.6.3

$- 96 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 15 x^{2}) + 2 (- 48 x) + 20}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.6.4

$20$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 15 x^{2}) + 2 (- 48 x) + 2 (10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.6.5

$2 (- x^{3}) + 2 (- 15 x^{2})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x^{3} - 15 x^{2}) + 2 (- 48 x) + 2 (10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.6.6

$2 (- x^{3} - 15 x^{2}) + 2 (- 48 x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x^{3} - 15 x^{2} - 48 x) + 2 (10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.6.7

$2 (- x^{3} - 15 x^{2} - 48 x) + 2 (10)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x^{3} - 15 x^{2} - 48 x + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.7

$- x^{3}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (x^{3}) - 15 x^{2} - 48 x + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.8

$- 15 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (x^{3}) - (15 x^{2}) - 48 x + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.9

$- (x^{3}) - (15 x^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (x^{3} + 15 x^{2}) - 48 x + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.10

$- 48 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (x^{3} + 15 x^{2}) - (48 x) + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.11

$- (x^{3} + 15 x^{2}) - (48 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x) + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.12

$10$ 을 $- 1 (- 10)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (- (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x) - 1 (- 10))}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.13

$- (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x) - 1 (- 10)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x - 10))}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.14

$- (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x - 10)$ 을 $- 1 (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x - 10)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (- 1 (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x - 10))}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

단계 6.15

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x - 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$