미적분 예제

$y = \ln ({(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}})$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ , $g (x) = x^{4} + 5 x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{4} + 5 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

단계 2.2

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{4} + 5 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

단계 6.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

단계 7

$\frac{3}{2}$ 와 ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

단계 8

$\frac{3 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 에 $\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

단계 9

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

단계 10

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

지수를 더하여 ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 에 ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

${(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{3}{2 ({(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

단계 10.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

단계 10.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{- 1 + 3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

단계 10.1.4

$- 1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

단계 10.1.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{1}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

단계 10.2

$2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

단계 11

합의 법칙에 의해 $x^{4} + 5 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

단계 12

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

단계 13

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{2}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 14

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + 5 (2 x))$

단계 15

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + 10 x)$

단계 16

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3}{2 x^{4} + 2 (5 x^{2})} (4 x^{3} + 10 x)$

단계 16.2

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2 x^{4} + 10 x^{2}} (4 x^{3} + 10 x)$

단계 16.3

$\frac{3}{2 x^{4} + 10 x^{2}} (4 x^{3} + 10 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{4} + 10 x^{2}}$

단계 16.4

$2 x^{4} + 10 x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.4.1

$2 x^{4}$ 에서 $2 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{2} (x^{2}) + 10 x^{2}}$

단계 16.4.2

$10 x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (5)}$

단계 16.4.3

$2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (5)$ 에서 $2 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

단계 16.5

$4 x^{3} + 10 x$ 에 $\frac{3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$ 을 곱합니다.

$\frac{(4 x^{3} + 10 x) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

단계 16.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.6.1

$4 x^{3} + 10 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.6.1.1

$4 x^{3}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(2 x (2 x^{2}) + 10 x) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

단계 16.6.1.2

$10 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(2 x (2 x^{2}) + 2 x (5)) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

단계 16.6.1.3

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (5)$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (2 x^{2} + 5) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

단계 16.6.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x (2 x^{2} + 5)}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

단계 16.7

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.7.1

$6 x (2 x^{2} + 5)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (3 x (2 x^{2} + 5))}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

단계 16.7.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.7.2.1

$2 x^{2} (x^{2} + 5)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (3 x (2 x^{2} + 5))}{2 (x^{2} (x^{2} + 5))}$

단계 16.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (3 x (2 x^{2} + 5))}{2 (x^{2} (x^{2} + 5))}$

단계 16.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 x (2 x^{2} + 5)}{x^{2} (x^{2} + 5)}$

단계 16.8

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.8.1

$3 x (2 x^{2} + 5)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (3 (2 x^{2} + 5))}{x^{2} (x^{2} + 5)}$

단계 16.8.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.8.2.1

$x^{2} (x^{2} + 5)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (3 (2 x^{2} + 5))}{x (x (x^{2} + 5))}$

단계 16.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x (3 (2 x^{2} + 5))}{x (x (x^{2} + 5))}$

단계 16.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 (2 x^{2} + 5)}{x (x^{2} + 5)}$