미적분 예제

$y = \arccos (x^{2})$

단계 1

$f (x) = \arccos (x)$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2

$\arccos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 입니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(x^{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2 \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{4}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{4}}} (2 x)$

단계 2.3

분수를 통분합니다.

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단계 2.3.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1 - x^{4}}} x$

단계 2.3.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{4}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{\sqrt{1 - x^{4}}} x$

단계 2.3.3

$\frac{- 2}{\sqrt{1 - x^{4}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 x}{\sqrt{1 - x^{4}}}$

단계 2.3.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 x}{\sqrt{1 - x^{4}}}$