미적분 예제

$y = \ln (\frac{x}{1 + x^{2}})$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \frac{x}{1 + x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{1 + x^{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

단계 1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{1 + x^{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\frac{x}{1 + x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

단계 2

$\frac{x}{1 + x^{2}}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$1 \frac{1 + x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

단계 3

$\frac{1 + x^{2}}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

단계 4

$f (x) = x$ , $g (x) = 1 + x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 5.2

$1 + x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 5.3

합의 법칙에 의해 $1 + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 5.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 5.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 5.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 5.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 10

$x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 11

$\frac{1 + x^{2}}{x}$ 에 $\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}{x {(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 12

공약수로 약분합니다.

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단계 12.1

$x {(1 + x^{2})}^{2}$ 에서 $1 + x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}{(1 + x^{2}) (x (1 + x^{2}))}$

단계 12.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}{(1 + x^{2}) (x (1 + x^{2}))}$

단계 12.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 - x^{2}}{x (1 + x^{2})}$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 - x^{2}}{x \cdot 1 + x \cdot x^{2}}$

단계 13.2

항을 묶습니다.

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단계 13.2.1

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - x^{2}}{x + x \cdot x^{2}}$

단계 13.2.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 13.2.2.1

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 13.2.2.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1 - x^{2}}{x + x^{1} x^{2}}$

단계 13.2.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1 - x^{2}}{x + x^{1 + 2}}$

단계 13.2.2.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1 - x^{2}}{x + x^{3}}$

단계 13.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- x^{2} + 1}{x^{3} + x}$